第十三章两个计数原理与排列、组合两个计数原理的应用【解析】(1)每人选报一个项目，都有三种选法，当每个人的项目选定后，这件事才算完成.故由分步计数原理，知共有3×3×3×3=81种不同的报名方法.(2)若以学生获得冠军的可能性考虑，第一位学生获得冠军有4种可能性(没有得冠军，跑步得冠军，跳高得冠军，跳远得冠军)，但考虑第二位学生时，并不是有4种可能，他受到第一位学生得冠军的可能性的影响，因为第二位学生要获得冠军，要除去与第一位学生获得冠军的相同的情况，考虑第三位、第四位获得冠军，相同的情况就会变得越来越复杂.显然，以学生获得冠军的可能性来分步，会使解决问题更加困难.若以每个项目冠军产生的可能性考虑，问题的思路就清晰多了.完成三个项目都产生了冠军，事情才算完成，每个项目的冠军只有一个，4个人都有可能获得某个项目的冠军，所以每个项目的冠军都有4种可能的结果.由分步计数原理，知共有可能的结果为4×4×4=64种.点评排列问题【解析】(1)分两步：甲、乙、丙捆绑在一起，有=6种方法；把甲、乙、丙三人看成一个人，与其他4人共5个元素做全排列，有=120种方法.所以有=6×120=720种不同的站法.(2)分两步：先将其他4人站成一排，有=24种方法；再将甲、乙、丙三人插入到这4人的空隙中(包括两端)，有=60种方法.所以有=1440种不同的站法.点评【变式练习2】求用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数．组合问题【解析】(1)只要从其余的10人中再选3人即可，有=120种；(2)5个人全部从另外10人中选，总的选法有=252种；(3)直接法:分两类：A、B一人当选，有=420种；A、B都不当选，有=252种；所以总的选法有420+252=672种；间接法:从12人中选5人的选法总数中减去从不含A、B的10人中选3人的选法总数，得到总的选法有=672种；(4)直接法:分四步：选2名女生，有=10×35=350种；选3名女生，有=210种；选4名女生，有=35种；选5名女生，有=1种.所以总的选法有350+210+35+1=596种；间接法：从12人中选5人的选法总数中减去不选女生与只选一名女生的选法数之和，即总选法有=596种；(5)分三步：先选1男1女分别担任体育委员、文娱委员的方法有=35种；再选出2男1女，补足5人的方法有=60种；最后为第二步选出的3人分派工作，有=6种方法.所以总的选法有35×60×6=12600种.点评排列与组合的综合应用【解析】分三步：先确定一个空盒，有=4种方法；选出2个小球捆绑，有=6种方法；将捆绑的小球与其余2个小球看成3个小球，再放入3个盒中，有=6种方法.于是共有=4×6×6=144种方法.点评点评【变式练习4】有6本不同的书.(1)甲、乙、丙三人每人2本，有多少种不同的分法？(2)分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？(3)分成3堆，一堆一本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？(4)分给甲、乙、丙3人，一人一本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分法？(5)分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？(6)摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？【解析】(1)在6本书中，先取2本给甲，从剩下的4本中取2本给乙，最后2本给丙，有=90种分法；(2)6本书平均分成3堆，共有=15种分堆方法；(3)从6本书中先取1本作一堆，在剩下的5本中，取2本作一堆，最后的3本作一堆，共有=60种分堆方法；【解析】(4)在(3)中，甲、乙、丙3人任取一堆，共有=360种分堆方法(5)平均分堆要除以堆数的全排列，不平均分堆则不除，共有=15种分堆方法;(6)与6本书放在6个位置上同意义，共有=720种不同的摆法.1.将数字1，2，3，4填在标号为1，2，3，4的方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有种.2.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为.5.7名师生站成一排，其中老师1人，男生4人，女生2人.在下列情况下，各有不同站法多少种(1)两名女生相邻；(2)4名男生不相邻；(3)老师不站中间，女生不站两端.【解析】(1)2名女生站在一起有种站法，她们与其余5人全排列，有种方法.故有=1440种站法.(2)老师和女生先站好，有种方法，再将4名男生插入其中，插法有种.故有=144种站法.【解析】(3)分两类：第一类，老师站两侧之一，另一侧由男生站，有=960种站法；第二类，两侧由男生站，老师站除两侧和中间的另外4个位置之一，有=1152种站法.故共有2112种站法.1.两个计数原理的应用方法在处理具体的应用问题时，必须