第5章刚体的转动§5.1刚体转动的描述一、刚体5.1刚体转动的描述5.2转动定律受力时形状和体积都不改变的物体5.3转动惯量的计算5.4转动定律的应用刚体是特殊的质点系（理想化模型）5.5角动量守恒受力时各质点间的相有关质点系的规5.6转动中的功和能对位置保持不变律都可用于刚体5.7进动*2011-2-26F.Y.MENG12011-2-26F.Y.MENG2二、刚体的运动三、自由度确定一物体的空间位置所需的独立坐标数平动、转动平动定轴转动定点转动一般运动被限制在被限制在在三维空间运动一曲线上运动一面上运动自由度为3任意两点的联有一个轴固定有一个点固定自由度为1自由度为2线方向固定其它质点绕轴做其它质点都在平动与转所有质点的位角速度、角加速以该点为球心动的混合移、速度、加度相同的圆周运的球面上运动速度相同动（经度、纬度、高度）（经度、纬度）2011-2-26F.Y.MENG32011-2-26F.Y.MENG41.质点的自由度3个zγ四、刚体转动的角量描述（运动学问题）2.刚性细杆的自由度5个β转动平面：垂直于转动轴所作的平面o质心3个平动自由度αMy转动2个转动自由度x定轴转动中各质点都在转0θ222cosα+cosβ+cosγ=1z动平面内绕轴与面的交点M作不同半径的圆周运动0θ3.不规则刚体的自由度6个o刚体的定轴转动可以用其上3个平动自由度质心y一个点的圆周运动描述个转动自由度转动3x刚体的定轴转动可以用角4.定轴转动刚体的自由度1个量描述：各质点角量相同2011-2-26F.Y.MENG52011-2-26F.Y.MENG61.定轴转动的角量2.定轴转动角量和线量的关系角位置：θvr=ωr×r角位移：Δθ⇒dθ为定轴转动转动平面内质点距轴的距离角速度：vrdvvdθM2a=d(rω)ω==ωωˆan=rωt==rαdt0θdtdt角加速度：dθα=const.dωvω=ω0+αtαv=dt(θ−θ)=ωt+1αt2刚体作匀002大小：ωv2加速转动22dωdθω−ω0=2α(θ−θ0)α==方向：沿轴与ω相同或相反dtdt22011-2-26F.Y.MENG72011-2-26F.Y.MENG8§5.2转动定律只有沿轴向的力矩才能vvvFivMi=ri×Fi对定轴转动产生影响Fi//vdL质点系M=vvvvdt=(ri⊥+ri//)×(Fi//+Fi⊥)vrvvvv对定轴转外力矩：M=?F=ri⊥×Fi//+ri⊥×Fi⊥r转动v动的刚体rr⊥rvvF角动量：L=?Mvv平面i⊥θz+ri//×Fi//+ri//×Fi⊥•角动量定理、角动量守恒定律？r0mirr//rrvrr×F=Mi//r一、力矩（对轴）只能引起轴的i⊥i⊥izoiO变形，对转动rv力在转动平面内M沿Z轴分量MZri⊥vrrrrr无贡献M=r×F=(r//+r⊥)×F使刚体绕z轴旋转rrr×F+r×F对转动有贡献的力矩在定轴转动问题中，如不加说明，所指的力矩是指//⊥力在转动平面内的分力对转轴的力矩rrrrrr力不在转动平面内？Mz=r⊥×Fr合力矩:Mz=∑Miz=∑ri⊥×Fi⊥2011-2-26F.Y.MENG92011-2-26F.Y.MENG10二、刚体定轴转动定律’角动量zO所有质点的角动量均沿轴对刚体中任一质量元Δmi质点m对轴的角动量：rrviMiz=ri×Fi⊥,M=Fi⊥risinθiωr2rL=r×mvv=mrω转动rFiiiiiivv合外力矩rii⊥平面riviL•θiz=mirivimiM外z=∑Fi⊥risinθiiiΔmi总角动量：Lz=Jzω2OLz=∑mirivi=∑miriωvi=ri⋅ωdLzdω2M外z==JzM外z=JzαJz=∑miri----刚体对Z轴(转轴)的转动惯量dtdt对定轴，可不刚体定轴----写角标z，记作M=JαLz=Jzω刚体对Z轴(转轴)的角动量转动定律2011-2-26F.Y.MENG112011-2-26F.Y.MENG12刚体定轴转动定律M=Jα三、转动惯量2讨论：按转动惯量（对轴）的定义有J=∑rmiiΔ刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可写成积分形式(1)M一定，Jα转动惯量是转动2dm—质元的质量惯性大小的量度；J=rdm∫r—质元到转轴的距离(2)M的符号：使刚体向规定的转动正方向加速区别：vdv的力矩为正；线动量Fm=平动：mv平动定律dt(3)J和质量分布有关；dω(4)J