z4.4刚体定轴转动定律ωdL质点系的角动量定理M外=dtdLZ轴分量zFMz=MidtzFviiz质元∆mi:Fi对O点的力矩r∆miiαiOiMrFi=×oiiri⊥Fi⊥=×+×rFrFoii⊥oiizriz（垂直z轴）rF×=×+×rFrFroioii⊥ii⊥izi⊥O（垂直z轴）Miz=×|rFii⊥|=rFii⊥sinαi=rFii⊥⊥MMz=∑iz=∑rFii⊥sinαiLLz=∑iz=?zLLz=∑iz=?ωLri=oi×∆mviiLiLizrvoi⊥iθFL=∆mrvMiiioiizFviizLLiz=⋅isinθ=∆mrvioii⋅sinθri∆miαi质元∆m到转轴的垂直距离Oiirrr=sinθi⊥ioiFi⊥L=∆mrvvr=ωiziiiiirizθ=∆()mr2ωiiroiO2L=()∆mrω刚体到转轴的转动惯量2z∑iiJz=∆∑mriiiidLzdωMJz==对固定轴MJ=αdtzdt例已知：滑轮M（看成匀质圆盘）半径RMR物体m1m2求：a=?Tmm−2解：mgT1−=ma1a=12gT1Tmm1+2Tmgma−=22T对否？mmgmg1−=+2()mma12m2aTT≠否则滑轮匀速转动，而物体加速运动m2g12m1mgT1−=11mam1gT22−=mgma212转动定律JMR=TRTRJ1−=2α2mm−线量与角量关系a=12gaR=α1mm++M122例一长为l质量为m匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动.试计算细杆转动到与竖直线成θ角时的角加速度和角速度.解细杆受重力和铰链对细杆的约束力FN作用，由转动定律得1mglsinθα=J21mglsinθα=J21式中J=ml233g得α=sinθ2l由角加速度的定义dddωωθdω3gα===ωωdω=sinθdθdddtθtdθ2l3g代入初始条件积分得ω=(1−cosθ)l4.5刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律角动量定理dL1质点由M=dttL22微分式积分式M•dt=dL=L2−L1M•dt=dL∫∫tL11dL2质点系由M外=dtt2L2M•dt=dL微分式外积分式M外•dt=dL=L2−L1∫∫tL这里11L=∑Lii3定轴转动刚体定轴转动刚体角动量定理t2ω2dLzdJ(ω)dωMJz(轴)===积分Mdt=Jdωωω=−JJdtdtdt∫轴∫21t1ω1当M=0时定轴转动刚体角动量守恒轴JJωω2==1恒量讨论守恒条件M=0若J不变，ω不变；若J变，ω也变，但L=Jω不变.内力矩不改变系统的角动量.角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.角动量守恒定律在技术中的应用惯性导航仪（陀螺）被中香炉应用:航海、航空、导弹和火箭等系统的定向、导航和自动驾驶等.它们的转子速度达万转每分;若转子稍不对称,就会对各个支撑轴产生巨大的作用力使其损坏,所以设计转子精度要高.北北南南角动量守恒使地球自转轴的方向在空间保持不变,因而产生了季节变化.Ⅲ、直升飞机后面的螺旋浆双浆直升飞机小结：刚体定轴转动定律牛顿第二定律MJ轴外=αF外=ma刚体定轴转动的总角动量动量LJ=ωpm=v刚体定轴转动的角动量定理动量定理dLdpM=F外=轴外dtdt定轴转动刚体角动量守恒动量守恒当M=0时轴合外当F外=0时JJω==ω恒量2211pp1==2恒量已知：匀质杆M子弹m水平速度v0射入不复出求：匀质杆的质心速度vc=?O解：对Mm系统系统动量守恒??M设杆长为lM轴外=0l系统角动量守恒cvc=?1ml=+()ml2Ml2ωv0m33mvvω=003mMl+l3mv是否动量一定不守恒？v=ω=0c22(3mM+)有没有特例？方法一：用动量守恒＋角动量守恒o对象：球＋杆假设无水平轴力xl由角动量守恒12xmv=+xmvMlω---（1）v030由动量守恒（水平）∴=+mvvv0mMc---（2）又v=(l/2)ω---（3）c这个打击位置2联立三式，也可解得x=l称为撞击中心3所得结果与杆的质量无关。方法二：用动量定理＋角动量定理对象：杆oox假设无水平轴力，只有子弹的力fl动量定理（水