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第第44章章刚体力学简介刚体力学简介4.1刚体的基本运动形式刚体:在外力作用下,形状和大小都不发生变化的物体.(任意两质点间距离保持不变的特殊质点系)1.平动:A’在运动过程中若刚体上的AA”任意一条直线在各个时刻的位置都相互平行,任意质元运动都代表整体运动BB’B”2.转动、定轴转动刚体所有质元都绕一固定直线做圆周运动,该固定直线称为刚体定轴,这种运动称为刚体的定轴转动刚体的运动平动+转动用角量描述转动z1)角位移∆θ:∆θ在∆t时间内刚体转动角度2)角速度ω:∆θdθω=lim=∆→t0∆tdt3)角加速度α:刚体定轴转动∆ωdωd2θωα=lim==∆→t0∆tdtdt2角速度ω的方向:ω按右手螺旋法则确定线量与角量关系zωdSr=⋅dθv=rωddvωvdS切向分量a==rr=αtrdttddθPa2v法向分量a==rω2nrO匀变速直线运动匀变速定轴转动dSvv=+0atdθωωα=+tv=ω=0dt12dt12S=+vtatθω=+ttαdv02dω02a=22α=22dtvv−=02aSdtωω−=02αθ4.2刚体定轴转动动能转动惯量4z一、刚体定轴转动动能ω12质元mi动能为:E=∆mvik2ii整个刚体的动能vi11E=∆mv2=∆mr()ω2k∑ii∑iirii2i2Oi∆mi12212=()∑∆mriiω=Jω2i21EJ=ω22刚体到转轴的kJ=∆∑mrii2i转动惯量刚体的转动动能二、刚体的转动惯量2J=∑∆mjrj转动惯量的物理意义:j1.刚体转动惯性大小的量度2.转动惯量与刚体的质量有关3.J在质量一定的情况下与质量的分布有关4.J与转轴的位置有关转动惯量的计算方法:质量离散分布刚体222J=∆∑mrjj=++mr11mr22⋯j对质量连续分布刚体线分布ddmx=λJ=∫rm2d{面分布dmS=σd体分布dmV=ρd哪种握法转动惯量大?例:一均匀细棒长l质量为mZ1dm=λdx1)轴z1过棒的中心且垂直于棒dx2)轴z2过棒一端且垂直于棒xlol求:上述两种情况下的转动惯量−+22m解:棒质量的线密度λ=llZ+2dm=λdx2212JZ=lxxmlλd=1∫−212dxxl212olJZ=xxmlλd=2∫03JJ>ZZ21例:匀质圆环通过中心轴的转动惯量如下图:Z解:J=Rm2d=Rm2d=mR2z∫∫Rdm例:匀质圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量圆盘半径为R,总质量为m.m质量面密度σ=22πR解:J=rm2d=rsσdz∫∫zdmRm=r2σ2πrrddS∫0rmRR=2πrr3dπR2∫01dr=mR221均匀圆盘绕垂直于盘面且通过中心的轴J=mR2212均匀圆盘绕直径的转动惯量J=mR4均匀圆环绕垂直于圆面通过圆心的轴J=mR22均匀薄球壳绕直径的转动惯量J=mR232均匀球绕直径的转动惯量J=mR25♦有关转动惯量计算的几个定理平行轴定理h2Jz=Jc+mhCz关于通过质心轴的转动惯量Jcm是刚体质量,h是c到z的距离Jz是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量垂直轴定理zx对于薄板刚体,J=J+JimzxyriOixyi薄板刚体对z轴的转动惯量Jzy对x轴的转动惯量Jx对y轴的转动惯量Jy转动惯量叠加,如图是A对z轴的转动惯量JAJz=JA+JB+JCzJB是B棒对z轴的转动惯量BJ是C球对z轴的转动惯量ACc回转半径J2任意刚体的回转半径R=(J=mRG)Gm式中:J是刚体关于某一轴的转动惯量,m是刚体的质量l1z222JZ=ml例:1G23Jml2Z23lORG===Cmm1.73G不是质心RG4.3力矩的功刚体定轴转动的动能定理一力对转轴的力矩1)刚体绕Oz轴旋转,作M用力在刚体的转动平面内。zFF对转轴Z的力矩MM=r×FrθO*dP大小:M=Frsinθ=Fdd:力臂方向:右手螺旋)若力不在转动平面内,把力分解为平行和垂直于2F转轴方向的两个分量zFF=Fz+F⊥FMzF其中F对转轴的力⊥zOθ矩为零,故F对转轴的r力矩MrF=×⊥大小:方向:右手螺旋M=rF⊥sinθ3)合力矩等于各分力矩的矢量和M=M1+M2+M3+⋯二力矩作功1)外力矩作功vdA=⋅Fdr=Fcosϕ|dr|=FcosϕθrdF