北京时间www.010time.comiyd摘要：通过对“无穷大”与“无穷小”进行形象化描述来理解这组概念，从而为分析“两个重要极限”奠定基础。本文简要说明了在第一重要极限中源何不采用"不定式"极限运算法则，并对两个重要极限进行分析讨论（软件仿真），进而实现对该理论的系统性理解。中国论文网关键词：无穷大；无穷小；两个重要极限；欧拉法则中图分类号：017文献标识码：A一、无穷大与无穷小1无穷大与无穷小的定义及说明在此给出无穷大与无穷小的另外一种定义形式。无穷大：绝对值无限增大的一类特殊变量。我们对无穷大进行如下说明：1）无穷大量是具有非正常极限的函数，例：是时的无穷大量；2）无穷大量实质上是变量极限不存在的一种形式。无穷小：极限为零的一类特殊变量。理解无穷小时，要注意两点：1）无穷小量是有界量；2）无穷小量≠负无穷大量。尤其是后者，初学时很容易混淆这两个概念。2无穷大与无穷小的形象化理解下面我们通过两例来形象化地理解无穷大与无穷小的概念：1）以《文始真经》（第八卷八筹篇）中“关尹子”的话为例来体味：是道也，其来无今，其往无古；其高无盖，其低无载；其大无外，其小无内；其本无一，其末无多；其外无物，其内无人；其近无我，其远无彼。不可析，不可合，不可喻，不可思，惟其混沌，所以为道。其中有“其大无外，其小无内”是在讲道，“其”包括所有。不妨通过“其大无外，其小无内”来理解“无穷大”和“无穷小”这两个概念：无穷大，大至无外；无穷小，小至无内。即：向外扩展，没有外限；向内收缩，没有内限。体现出动态变化的思想，进而也能体会出无穷大量与无穷小量是一对变量。2）以一则故事来体味：两个小朋友在一起斗嘴，甲说：“我有一个苹果”。乙说：“我有两个”。甲说：“我有三个”。乙说：“我有四个”。……甲说：“我有一万个”。乙说：“我有十万个”。这时，甲生气了，对乙说：“不管你有多少，我都比你多！”此刻甲向乙传达出的就是无穷大的数学概念！（若将“不管你有多少，我都比你多！”改为“不管你有多少，我都比你多一个！”传达出的就不是无穷大的概念了。）3无穷小量代换的分析及优越性在极限的运算中，无穷小量代换成为解题中经常用到的一个技巧，极大地缩减了运算量，体现出其特有的优越性。等价无穷小量代换：设当时，f与g均为无穷小量，若，则称f与g是在极限运算中，经常会用到以下等价无穷小代换：当时我们来对上述其中之一进行剖析：时，，即：。大家学习不定式极限运算法则后，会习惯性地采用不同于“夹逼准则”的另外一种证明方法：证明：根据不定式极限运算法则（“欧拉法则”）得：，即：当时，。故：，∴得证！乍眼一看，似乎此法要比"夹逼准则"简单明了，但对吗？为什么？下面我们会给出细致的分析：上述证明中用不定式极限运算法则时，用到了能不能这样呢？显然不能，因为在的证明中就要用到。所以，若通过不定式极限运算法则来证明，就犯了逻辑性错误！上述我们介绍了等价无穷小代换，那么在极限的运算中它能否体现出其特有的优越性来呢？运用等价无穷小代换，可以明显缩减运算量。以下面的题目为例，来对比两种方法，进而掌握等价无穷小代换在极限运算中的应用方法。例：求解：方法1（利用不定式极限运算法则：“欧拉法则”）原式方法2（利用等价无穷小量代换）原式∴解毕！二、两个重要极限及其探索分析两个重要极限：1）2）证明：1）如图1所示，由得：，即：。进而。由“夹逼准则”得：。(注：其中用“”来表示圆弧AOB。)证明：2）①、当X取正整数时，设，则：同理：显然有，又单调增有上界，故根据极限存在法则得的极限存在，取该极限为e，数e为无理数（待证）。②，有，∴根据“夹逼准则”有同理对于采用负代换即证，故。∴得证！2对e进行探索及仿真分析前面我们用符号e来表示函数的极限，那么e到底是有理数还是无理数？e向何处去？2.1e是无理数还是有理数？证明：e为无理数。证：假设e是有理数，则有：两边同乘以b!并移项，得：备注：由此产生一个明显的矛盾：正整数小于1，因此e不是有理数，而e又是实数，故e为无理数！∴得证！问题：e向何处去？。函数为单调递增函数且有上界，故其极限存在，即：随x增大越接近该极限值，我们通常所知的e值就是由此而来的。2.2对进行软件仿真图2C程序仿真实现结论通过证明我们可以发现大部分微分学公式都直接或间接地源于这两个极限，故将及称之为“两个重要出两个重要极限在整个微分学中所起到的作用。对无穷大与无穷小进行理解并由此引入两个重要极限，进而对两个重要极限进行分析，将两个重要极限与微分学联系起来，形成一条线索。在欧氏空间中，我们采用由内积诱极限，由极限来定义微分、积分及收敛，同时我们由上述的讨论中也可以发现在