第54讲参数方程与曲线系1．参数方程是联系多个变量之间关系的桥梁，在解题过程中引入参数或参数方程，使多个变量单一化，达到简化计算，解决问题的目的．几种常见的参数方程的形式如下：(1)直线的参数方程eq\b\lc\{(\a\al(x＝x0＋tcosθ，,y＝y0＋tsinθ，))（t为参数）．其中θ是直线的倾斜角，参数t表示有向线段eq\o(AP,\d\fo1()\s\up6(→))的数量（其中点A、P的坐标为A(x0，y0)，P(x，y)），如图1所示．(2)圆的参数方程eq\b\lc\{(\a\al(x＝x0＋rcosθ，,y＝y0＋rsinθ，))（θ为参数）．其中r是半径，圆心是(x0，y0)，参数θ表示圆心角，如图2所示．(3)椭圆参数方程eq\b\lc\{(\a\al(x＝x0＋acosθ，,y＝y0＋bsinθ，))（θ为参数）．其中椭圆中心是(x0，y0)，长半轴长为a，短半轴长为b(a＞b)，参数θ表示离心角，如图3所示．[来源:学科网ZXXK](4)双曲线参数方程eq\b\lc\{(\a\al(x＝x0＋asecθ，,y＝y0＋btanθ，))（θ为参数）．其中双曲线中心是(x0，y0)，实半轴长为a，虚半轴长为b，θ是参数．(5)抛物线的参数方程为eq\b\lc\{(\a\al(x＝2pt2，,y＝2pt，))（t为参数）．其中焦点为（eq\f(p,2)，0），准线为x＝－eq\f(p,2)．参数或参数方程在求轨迹方程，求极值，求变量取值范围，简化计算或证明方面具有突出的作用．2．常用的直线系方程：(1)过定点(x0，y0)的直线系为：λ1(y－y0)＋λ2(x－x0)＝0，其中λ1、λ2为参数．(2)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系为：Ax＋By＋λ＝0，其中λ≠C，λ为参数．(3)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系为：Bx－Ay＋λ＝0，其中λ为参数．(4)当直线l1与l2的一般式分别为f1(x，y)＝0，f2(x，y)＝0时，曲线系λ1f1(x，y)＋λ2f2(x，y)＝0，其中λ1、λ2为参数①当l1与l2相交时表示通过l1与l2交点的所有直线；②当l1∥l2时，表示与l1平行的一组平行直线．(5)在两坐标轴上截距和为a的直线系为：eq\f(x,λ)＋eq\f(y,a－λ)＝1，其中λ为参数．(6)与原点距离等于r(r＞0)的直线系为：xcosθ＋ysinθ＝r，其中θ为参数．3．曲线系与圆系：(1)方程f1(x，y)＋f2(x，y)＝0表示的曲线一定经过两条曲线f1(x，y)＝0与f2(x，y)＝0的交点．(反过来，经过它们交点的曲线不一定能用此方程表示)．当需要解决“求过两条曲线的交点作的一条曲线”时，常用此曲线系来解题，可以避免解方程组求交点而直接得出结果．(2)圆系：圆系是求圆的方程的一个重要的方法，同时也是证明四点共圆的简捷途径．对于不同圆心的两个圆Ci＝x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)，则C1＋λC2＝0，(λ为参数)表示共轴圆系．当λ≠－1时，表示圆；当λ＝－1时，退化为一条直线(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0，此直线叫两圆的根轴．对于已知圆C1及圆上一点（m，n），则C1＋λ[(x－m)2＋(y－n)2]＝0，(λ为参数)表示与C1相切于点（m，n）的圆系．4．二次曲线系：一般二次曲线的方程由6个参数确定：Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0(A2＋B2＋C2≠0)．但只要5个独立参数即可确定唯一的二次曲线．①给定5个点，如果其中有三点共线，另两点不在此直线上，则经过此5点的二次曲线是唯一的，是二条直线(退化二次曲线)；②给定5个点，无三点共线，则经过此5点的二次曲线是唯一的．③若有两个二次曲线——C1：F1(x，y)＝0；C2：F2(x，y)＝0，且C1与C2交于不共线4点．则λF1(x，y)＋μF2(x，y)＝0表示所有经过此4个交点的二次曲线．5．用直线方程构成二次曲线系：①如果两条直线li：li(x，y)＝Aix＋Biy＋Ci＝0(i＝1，2)与一条二次曲线：F(x，y)＝0有交点，那么，曲线系λF＋μl1·l2＝0经过这些交点，若它们有四个不共线的交点，则此曲线系包含所有的过此四点的二次曲线．②若有不共线4点Pi(i＝1，2，3，4)，记直线PiPi＋1(P5＝P1)为li(x，y)．则曲线系λl1·l3＋μl2·l4＝0包括了所有过此4点的二次曲线系．③若有不共线3点Pi(i＝1，2，3)，记直线PiPi＋1(P4＝P1)为li(x，y)．则