保住基本分·才能得高分“3＋1”保分大题强化练三前3个大题和1个选考题不容有失1．设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq\f(4,4－an)(n∈N*)．(1)求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－2)))是等差数列；(2)设bn＝eq\f(a2n,a2n－1)，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)证明：∵an＋1＝eq\f(4,4－an)，∴eq\f(1,an＋1－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(1,\f(4,4－an)－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(4－an,2an－4)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(2－an,2an－4)＝－eq\f(1,2).又a1＝1，∴eq\f(1,a1－2)＝－1，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－2)))是以－1为首项，－eq\f(1,2)为公差的等差数列．(2)由(1)知eq\f(1,an－2)＝－1＋(n－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(n＋1,2)，∴an＝2－eq\f(2,n＋1)＝eq\f(2n,n＋1)，∴bn＝eq\f(a2n,a2n－1)＝eq\f(\f(4n,2n＋1),\f(22n－1,2n))＝eq\f(4n2,2n－12n＋1)＝1＋eq\f(1,2n－12n＋1)＝1＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝n＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋\f(1,5)－\f(1,7)＋…＋\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))＝n＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝n＋eq\f(n,2n＋1)，∴数列{bn}的前n项和Tn＝n＋eq\f(n,2n＋1).2.如图所示多面体ABCDEF，其底面ABCD为矩形，且AB＝2eq\r(3)，BC＝2，四边形BDEF为平行四边形，点F在底面ABCD内的投影恰好是BC的中点．(1)已知G为线段FC的中点，证明：BG∥平面AEF；(2)若二面角F­BD­C的大小为eq\f(π,3)，求直线AE与平面BDEF所成角的正弦值．解：(1)证明：如图，连接AC交BD于H，连接GH，则GH为△ACF的中位线，∴GH∥AF.∵GH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，∴GH∥平面AEF.又BD∥EF，BD⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴BD∥平面AEF.连接DG，∵BD∩GH＝H，BD⊂平面BDG，GH⊂平面BDG，∴平面BDG∥平面AEF，∵BG⊂平面BDG，∴BG∥平面AEF.(2)取BC的中点O，AD的中点M，连接OF，OM，则OF⊥平面ABCD，OM⊥BC，以O为坐标原点，OC，OM，OF所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，B(－1,0,0)，C(1,0,0)，D(1,2eq\r(3)，0)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝(2,2eq\r(3)，0)．设OF＝a(a＞0)，则F(0,0，a)，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝(1,0，a)．设平面BDEF的法向量为n1＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(BD,\s\up6(→))＝0，,n1·\o(BF,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\r(3)y＝0，,x＋az＝0.))令x＝－eq\r(3)a，得n1＝(－eq\r(3)a，a，eq\r(3))．易得平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)．∵二面角F­BD­C的大小为eq\f(π,3)，∴|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1|·|n2|)＝eq\f(\r(3),\r(4a2＋3))＝eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(3,2).设直线AE与平面BDEF所成的角为θ，∵eq\o(AE,\