2012年全国高中数学联赛试题（A卷）填空题：（本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上）1．设P是函数的图像上任意一点，过点P分别向直线和轴作垂线，垂足分别为A、B，则的值是.2．设ΔABC的内角A、B、C的对边分别为、、，且满足，则的值是.3．设、、∈[0，1]，则的最大值是.4．抛物线（）的焦点为F，准线为，A、B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=．设线段AB的中点M在上的投影为N，则的最大值是.5．设同底的两个正三棱锥P-ABC和Q-ABC内接于同一个球，若正三棱锥P-ABC的侧面与底面所成的角为45º，则正三棱锥Q-ABC的侧面与底面所成角的正切值是.6．设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是.7．满足的所有正整数的和是.8．某情报站有A、B、C、D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第一周使用A种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是.（用最简分数表示）二、解答题：（本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤）9．（本小题满分16分）已知函数，且．若对任意，都有，求的取值范围；若，且存在，使得，求的取值范围．10．（本小题满分20分）已知数列{}的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有．当时，求所有满足条件的三项组成的数列；是否存在满足条件的无穷数列{}，使得？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．11．（本小题满分20分）如图，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且．求证：为定值；当点A在半圆M：上运动时，求点C的轨迹．2012年全国高中数学联合竞赛（二）一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、设集合，，则=（）A、B、C、D、2、正方体中与截面所成的角是（）A、B、C、D、3、已知，，则“”是“在上恒成立”的（）A、充分但不必要条件B、必要但不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4、设正三角形的面积为，作的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为，面积为，如此下去作一系列的正三角形，其面积相应为，设,，则=（）A、B、C、D、25、设抛物线的焦点为，顶点为，是抛物线上的动点，则的最大值为（）A、B、C、D、6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（）A、B、C、D、二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、如图，正方形的边长为3，为的中点，与相交于，则的值是．8、的展开式中的常数项是．（用具体数字作答）9、设等比数列的前项和为，满足，则的值为．10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为．11、已知锐角满足，则的最大值是．12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数，满足条件“”的概率是．三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、设函数，（I）求函数在上的最大值与最小值；（II）若实数使得对任意恒成立，求的值．14、已知，满足，（I）求的最小值；（II）当取最小值时，求的最大值．15、直线与双曲线的左支交于、两点，直线经过点和的中点，求直线在轴的截距的取值范围．16、设函数在上的最大值为（）．（I）求数列的通项公式；（II）求证：对任何正整数，都有成立；（III）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立．