2012年第9期23第52届IMO预选题(一)中图分类号：G424．79文献标识码：A文章编号：1005—6416(2012)09—0023—04集中的三个数是某个钝角三角形的三边长．代数部分6．本届IMO第3题．1．本届IMO第1题．7．设正实数a、b、c满足2．求所有正整数数列，：，⋯，：。使rain{a+b，b+C，c+a}>√2，n+b。+c=3得对于每个正整数凡，都存在整数口满足．+22n+⋯+201l；0ll=a+1．证明：3．求所有从实数集到实数集的函数对abc3(f，g)，满足对于所有实数、，，有面++≥g(+Y))=)+(2x+Y)g(Y)．参考答案4．求所有从正整数集到正整数集的函数对(I厂，g)，满足对于每个正整数n有1．本届IMO第1题．-厂g‘’(n)+g(n)2．只有一个数列=+1)一g(凡+1)+1，(l，2，⋯，．1520l1)=(1，七，⋯，七)．．■其中，f(n)=一n)⋯))．—满足条件，其中，5．证明：对于每个正整数凡，集合矗=2+3+⋯+2O11=2023065．{2，3，4，⋯，3凡+1}事实上，若=2023065，则能被分拆为凡个三元子集，使得每个三元子1+2+⋯+2011一层9＼{8}一日9．4后+4，4+6，⋯，4+l2．所以，风是可行的．注意到，≤4七+2．而风一{1，2，⋯，7，9，11，13}一B故剩下的六个奇数4后+3，4+5，⋯，4+13是可行的．模3余0、l、2各两个，将其中两个模3余0上面后一步多次利用了添加26的特殊的数记为。、，余下四个数取模3余1和模情形．依次添加8、10和l2．3余2的各一个，组成两对，记为：、：和由曰6—+5t_J{7，11}—+Bu{11}—u{9，11，15}—。2u{15}3、3．此时，对i=1，2，3，将b：÷(“+)_l7＼{10，14，16}一B17，替换为、，这里只需注意到b是偶数，又知B是可行的．^可以通过立刻补回b，最后得到，．最后，对任意整数矗i>2，证明+：，即完成本题证明．故结论成立．先通过若干次添加26的操作，依次添加(熊斌提供)24中等数学：1+·：尼‘+1．这表明因此，对于所有的正整数n，(1，Jj}，⋯，)(1，2，⋯，20l1)=(1，m，⋯，m)．—满足条件，且n=．又1+，礼=口l+n2+⋯+口m下面证明这样的正整数数列是唯一的．=1+2+⋯+2011=1+．假设数列(。，：，⋯，。。)满足条件．则故m=．对于每个凡∈Z+，存在Y∈Z+，使得3．)=g()=0及S：+2；+⋯+2O1lx；0lI=Y：+1．／)=+C，g()=由S<(I+22+⋯+2O1lx2ol1)，满足条件，其中，C是实数．知数列{Y}有界．在原方程中，令Y：一2x．特别地，存在某个Y∈Z+，有无穷多个贝0g0^(一))=)．(／1,∈Z+，满足Y：Y．在式①中，用一—Y代替得设。，z2，⋯，20中的最大值为m，将一—)=g(+y))，，⋯，。中的相等的项合并，并将和式=)+(2+y)g(y)．②S写为对于任意的两个实数、6，在式②中令S=Ⅱmm+0m—l(m一1)+⋯十0l，=一b．Y=口+b．其中，对于所有的整数(1≤i≤m一1)，有贝0一口)：一6)+(0—6)g(口+6)．口t>0，>0，若C是其他任意实数，类似地可得且口】+Ⅱ2+⋯+口m=1+2+⋯+2O11．-厂(一b)=一C)+(b—c)g(b+c)，于是，存在任意大的正整数ir／,使得-厂(一c)=一口)+(C一口)g(C+Ⅱ)．Gram“+n一1(m一1)“+．_·+0l一1-y·y=0．①将三个方程相加得先证明一个引理．[(0+c)一(b+c)]g(口+b)+引理设b，6⋯，b是确定的整数，且[(0+6)一(a+c)]g(b+c)+存在任意大的正整数ir／,使得[(6+c)一(+b)]g(c+n)6l+bz2十⋯+6』v^=0．=0．则对于所有的整数i(1≤≤Ⅳ)，有6：0．对于任意三个实数、)，、，存在三个实数证明假设不是所有的b都等于0．口、b、C满足不失一般性，假设6≠0．：b+C，Y=c+0，二=0十b．同除以后得故(y-x)g(z)+(-y)g(x)+(-z)g(y)=0．IbN，=()+．．㈤这表明，g的图像上的任意三个点(，g())，(y，g()，))，(z，g(z))≤(IbN_l．．+l6】I)()．共线．于是，g要么是一个常数，要么是一个线当n足够大时，()可以任意小，这性函数．与6≠0矛盾．设g()=Ax+B，其中，A、B是实数．回到原题．在