l2中等数学赛题新解用一个推广的命题证明第50届IM0第6题卢道帝(北京大学数学科学学院07级，100871)中图分类号：0157．2文献标识码：A文章编号：1005—6416(2010)05—0012—02题目设“，n，⋯，n是互不相同的正离是o，口，⋯，n的某个排列．证明：可以选整数．是有n一1个元素的正整数集，且不择一种排列，使得蚱蜢跳跃落下的点所表示含数s=0+n+⋯+“一只蚱蜢沿着实数的数都不在集合M中．j轴从原点0开始向右跳跃步，它的跳跃距(第50届IMO)事实上，可以通过用数学归纳法证明下收稿日期：2009—09一l7为了精益求精，解题总是希望从该方法线，、Ⅳ为垂中找到纯几何的求解方法，这就需要分析式足，联结FD、①、②所蕴含的几何意义．BF．则先看式①．由余弦定理知，分母△PENv／一—+2m／2co—s0+n2∽△PEMpFFN2恰好是对角线BD的长，而分子一PE—EM’rosin0·tacos0=BE·EC．由已知得这正是Rt△EBC的面积的两倍，这就启发Rt△CDF∽Rt△CBE解题者将式①改写为EM·曰D=BE·ECj==筹．11=EM-BD=BE·EC二又SDF：S△c，】，，S△c韶：S舵，则肋：SⅢ．SAD，AB而式③显然成立．sDBEADLS~BD同理，式②可以改写为F=，得sF叻=S、．聒FNA一P其实，式③、④都是极显然的事实，只是．一A壁．EM一4D一PF—AD‘学生在此之前不易看出．正是借助解析法，发现了必然要用到的显然的事实．自然能正确通过以上分析有了一个体会，即有些辅地作出辅助线．助线是“算”出来的。经上分析，得到了一个纯几何解法．参考文献：解如图2，过点E、F分别作BD的垂[1]阚政平．初225[J]．中等数学，2008(6)2010年第5期面推广的命题来证明原题．的各加数(即a。，a：，⋯，a⋯中除a⋯一以外命题P(n，)设a，a，⋯，a是互不的数)的某个排列跳到A“而且中间各步落相同的正整数．是有k(0≤<n)个元素的点(包括Ai本身)都不在集合中，则将A,j正整数集，且不含数S=a1+a2+⋯+a．一染为白色．只蚱蜢沿着实数轴从原点0开始向右跳跃n(2)其他点染为红色．步，它的跳跃距离是a，a，⋯，a的某个排于是，由归纳假设，对任意的i(2≤i≤列．则在固定a，a：，⋯，a和集合的前提n一1)，若集合中小于A的元素数目k下，蚱蜢在第一步(或最后一步)有至少n一小于i，则第i一1行的i个数中，被染成白色种跳跃距离，在选定其中任意一种跳跃距离的数不少于i—k个．之后，依然存在满足此限制条件的a，a，⋯，因此，对于每个数的染色有以下简单的a的一种排列，使得蚱蜢跳跃落下的点所表结论．示的数都不在集合中．(i)a¨为红色当且仅当A¨∈或对任原题为k=一1的情形．意的(1≤≤i)，A．为红色(此时≥2)．证明对n进行归纳．(ii)A“(1≤i≤聘一1，2≤J．≤i+1)为红色当=1，2时，命题P(n，k)显然成立．仅有以下两种可能：假设对任意小于凡的正整数以及任意(a)a∈M(是充分条件)；的Ii}(0≤<n)，命题P(n，k)成立．(b)a．为红色(但非充分条件，此时接下来证明：对于以及任意的k(0≤kiI>2)．<n)，命题P(n，k)成立．分两种情况讨论．不妨设a，a，⋯，a是从小到大的排列．(1)存在某个i(2≤i≤一1)，使得第注意到图1中的数两两不同．i一1行的所有数被染成红色，则取满足此条01d2件的最小的i．a1+Ⅱ2a1+a3a2+Ⅱ3设第i一2行中被染成白色的数有W个(当i=2时，设=1)．i—l∑o∑o+o+则由归纳假设，集合中小于A．的t=1t=I元素数目k≥(i一1)一W．不妨设第i一2行中被染成白色的最右n一1n一2∑n∑o+n端的数为A-2j"则由于第一1行的所有数t=1t=1被染成红色，．。以及第i一2行中所有白色图1数的右下方的数(即第i一2行中那些白色数图1中第i行第列(1≤i≤n一1，1≤≤i+1)的数A为a1，a2，⋯，a中除aⅢ一，以分别与a的和)都必须在集合中．这样，外的数相加之和图1中任意两数靠下(行集合中不大于A一1,j+l：A．，+a的数至数大)的数较大．处于同一行的两数靠右的少有+WH+1≥i个．数较大．由于集合中元素个数后≤n一1且n—i下面对每个数进行染色，染色规则如下．个数A一2√+n+1，A一2J+a+2，⋯，4一2J+n(1)如果蚱蜢能按某个数两两不同且都大于A．，+=AH，，+a，则2J+0+1，A2+0