第页共NUMPAGES4页第46届IMO第1题的证明、探源及推广安徽省芜湖市安流学校林闯第46届国际数学奥林匹克竞赛（IMO2005Mexico）的第1题和第5题都是纯几何题,本文试对第1题作一些浅显的探究,供读者参考.题目：等边三角形ABC各边上的六个点A1、A2(∈BC)，B1、B2(∈CA)，C1、C2(∈AB)构成六边长相等的凸六边形A1A2B1B2C1C2.求证:三条直线A1B2,B1C2,C1A2交于一点.（此题由罗马尼亚提供）一、题目的一种新证法分析：如图1，本题的目标是证明三条直线A1B2,B1C2,C1A2交于一点.按照现行初中平面几何教材中的教学内容，共有两条证明思路，一是三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线（所在直线）、三边的垂直平分线、一个内角平分线和其余两个外角平分线交于一点，二是任意轴对称图形的所有对称轴必交于一点.如此看来，若想仅用初中数学知识来解决这道IMO试题，也只有走这两条捷径了.若想用第一条思路来证明，首要的工作就是要找一个能够担此“重任”的三角形了.不妨连结，得（事实上构造亦可）.因为，所以点A2在线段A1B1的垂直平分线上.若再有，则便是的边A1B1的垂直平分线了.同理，也分别是边C1A1、B1C1的垂直平分线.故三条直线A1B2,B1C2,C1A2必交于一点.于是原问题归结为证明为等边三角形.证明：过点作线段∥，且（使点P与点位于直线的同侧），再连结.∵∥，，∴，∴，∥，.∵，∴是等边三角形.∴.∵，∴∥，∴四边形也是平行四边形.∴，∴，∴也是等边三角形.∴.又∵，∴.而，∴.∴.又∵，∴≌≌.∴，又∵，∴，又∵，，∴≌≌.∴.∵，，∴点均在线段的垂直平分线上，即.同理，，的垂直平分线.故三条直线A1B2,B1C2,C1A2必交于一点.最后顺便指出：此图中的等边凸六边形A1A2B1B2C1C2虽说不是正六边形，但它却是一个非常漂亮的轴对称图形.它拥有A1B2、B1C2、C1A2三条对称轴，而这三条对称轴当然交于一点.这一点既是小正的中心，也是大正的中心.二、题目的来源背景原命题可能来源于下面的命题.命题1：正三角形ABC与正三角形均内接与圆O，两个三角形的三边分别相交于六个点A1、A2(∈BC)，B1、B2(∈CA)，C1、C2(∈AB).求证:三条直线A1B2,B1C2,C1A2交于一点.简证：如图2，连结.∵，∴.又∵，∴，∴.又∵，，∴≌.同理可得，≌≌≌≌.∴.以下证明同原命题的证明，略去.事实上，图2中的六边形A1A2B1B2C1C2正是“六边长相等的凸六边形”，完全符合原题目的条件，再结合原命题的证明过程不难得出：命题1与原命题等价.三、题目的一般性推广因为命题1与原命题等价，所以要想推广原命题，只需推广命题1即可.我们首先来试着把命题1推广到正方形的情形：命题2：正方形ABCD与正方形均内接于圆O，两个正方形的四边分别相交于八个点A1、A2(∈BC)，B1、B2(∈CD)，C1、C2(∈DA)、D1、D2(∈AB).求证:四条直线A1C1，B1D1，A2C2，B2C2交于一点.简证：如图3，连结.∵，∴.又∵，∴，∴.又∵，，∴≌.同理可得，≌≌≌≌≌≌.∴.还易得四边形是正方形，而，∴是正方形的一条对称轴.同理也是正方形的一条对称轴.而对角线显然也是正方形的对称轴.∴这个正方形的四条对称轴A1C1，B1D1，A2C2，B2C2必交于一点.这里要顺便指出的是，四条直线A1C1，B1D1，A2C2，B2C2的交点恰是小正方形和两个大正方形ABCD、的中心.更一般地，我们还可以把命题1推广到正n边形的情形：命题3：正n边形和正n边形均内接于圆O，两个正n边形的n条边分别相交，顺次得到的个点是、….求证:n条直线、…必交于一点.命题3的证明与命题2类似，这里不再赘述，请读者自行证之.——本文发表于华南师范大学《中学数学研究》2005年第11期