第31届IMO试题1.弦AB,CD相交于圆内一点E，M是线段EB上的一点，过E点与△DEM外接圆的切线分别交BC,AC于F,G。设，试用t表示。2.设，考虑一个圆上由个不同点构成的集合E。现给E中恰好k个点染上黑色，如果至少有一对黑点使得这两个黑点之间的弧上（两段弧中的某一个）包含恰好E中的n个点，就成这样的染色方法是“好的”。试找出对于集合E能保证任意一种染色方法都是“好的”的最小的k值。3.试找出所有大于1的正整数n满足也是整数。4.试构造一个从正有理数集到正有理数集的函数使对任何x，y都成立。5.给定一个初始整数，两个玩家A，B根据下述规则交替的选择整数：①设B已选择，则A选择满足；②设A已选择，则B选择满足对某个p及成立。若A选到了数1990就获胜；若B选到了1就获胜。分别求除满足下述条件之一的：（1）A有必胜策略；（2）B有必胜策略；（3）A,B都没有必胜策略。6.求证存在一个凸1990边形使得所有角都相等并且边长是（顺序不定）。第30届IMO试题1.试证明集合{1，2，…，1989}可以分拆成117个子集合（即这些子集合互不相交且并集为整个集合），满足每个包含17个元素，并且每个中元素之和都相等。2.锐角△ABC，内角∠A的角平分线交△ABC的外界圆于，类似定义，点。设AA1与∠B，∠C的外交平分线交于点，类似定义，点。求证：△A0B0C0的面积是六边形AC1BA1CB1的两倍也是△ABC面积的至少4倍。3.设n，k是正整数，S是由平面上n个点构成的集合并且无三线共点，对任何S中的点P至少存在S中的k个点与P等距离。求证：。4.凸四边形ABCD的边AB，AD，BC满足AB=AD+BC，四边形内部有一与直线CD距离为h的点P，并且AP=h+AD，BP=h+BC，求证：。5.试证明对每个正整数n，存在n个连续的正整数使得其中无素数或素数的幂。6.设是{1,2,…,2n}的一个排列，其中n是一个正整数。如果对至少{1,2,…,2n-1}中的一个i成立就说这个排列具有性质P。试证明对于任意的n，具有性质P的排列都比不具有的多。第29届IMO试题1.考虑平面上同一圆心的两个半径分别为R>r的圆。P点是小圆上一个固定的点，B是大圆上的动点，BP交大圆于C，过P点作BP的垂线交小圆于A点（如果相切则A=P）。（1）试确定的所有可能值；（2）试确定BC中点的轨迹。2.n是正整数，都是集合B的子集，假设ⅰ.每个Ai都恰有2n个元素；ⅱ.任何两个不同的Ai恰有一个公共元素；ⅲ.B中的每个元素至少属于两个Ai。试问对于什么样的n值有办法将B中的元素都标上0或1使得每个Ai都恰好包含n个标0的元素。3.函数定义在正整数集上：。且对每个正整数n有，。试确定小于或等于1988并满足的正整数n的个数。4.试证明满足的所有实数x的集合是一些互不相交的区间的并集，并且这些区间的长度之和是1988。5.三角形△ABC,∠A是直角，D是BC边上的高的垂足。三角形△ABD、三角形△ACD的内心的连线分别交边AB，AC于K，L。求证：。6.a，b都是正整数，且ab+1整除a2+b2。求证是完全平方数。第28届IMO试题1.设是集合上具有k个固定点的排列的个数，求证k从0到n对的求和是。[一个集合S的一个排列是从S到它自身的一一映射。元素i称为是f固定点如果。]2.锐交三角形ABC的内角∠A的角平分线交BC于L，交△ABC的外接圆于N，从L点向AB，AC作垂线，垂足分别是K、M，求证四边形AKNM的面积与△ABC的面积相等。3.是实数并且满足，求证对每个正整数存在不全为0的整数，使得对每个i有及。4.求证不存在从非负整数到非负整数的函数f满足对所有n有成立。5.n是大于或等于3的整数，求证存在一个由平面上n个点构成的集合满足任何两点的距离都是无理数并且任何三点构成一个面积为有理数的非退化的三角形。6.n是大于或等于2的整数，如果对所有都有是素数，则当时，都是素数。