34(2010年第8期∀高中版)∀解题研究∀慎用椭圆参数方程解题441200湖北省枣阳市第二中学龚兵李培锋引参,消参,换元法是数学解题的一种重要方法对于第(2)问学生们经常会出现以下错解:由椭圆及技巧.借用参数可以架起未知变量之间的桥梁,减少的参数方程可设点M3cos,sin,N(3cos(+),运算量,达到化繁为简,化难为易的目的.在运用时一方2面要注意参数的取值范围,保证换元前后的等价性,另sin(+)),即N-3sin,cos,2一方面要注意参数的几何或代数意义必须要清晰.对于22椭圆的参数方程,很多学生由于未能深入理解参数的几#MN=3cos+3sin+sin-cos何意义,没有准确把握椭圆参数方程中点A的离心角与=4-2sin2,OA的倾斜角的区别与联系,从而导致错误.本文摘取学5即=,=时,MN取最小值为2.生的几例典型错误加以分析,希望能引起同学们注意.44例1已知椭圆的中心在原点O,焦点在x轴上,x=acos,剖析该解法中错将参数方程中点M直线l:x+3y-3=0与交于A,B两点,AB=2且y=bsin!AOB=.的离心角看成是直线OM的倾斜角,得出点N的坐标2是错误的.(1)求椭圆的方程;2x2正解由M,N是椭圆:+y=1上的点且OM(2)若M,N是椭圆上两点,满足OM∀ON=0,求3|MN|的最小值.∃ON,故可设x+3y-3=0,分析第(1)问通过联立方程x2y2利+=1,a2b2用弦长公式及OA∀OB=0,运用设而不求的方法很容易2x2求出椭圆方程+y=1.3图111图象与x轴的负半轴有交点,求实数m的取值范围.解由上分析可得N(a)=f()=1-,而aa分析因函数图象与x轴的负半轴有交点,则方程f(1)=a-1,f(3)=9a-5,(m-2)x2-4mx+2m-6=0在区间(-∋,0)内有实1则(1)当9a-5%a-1,即&a&1时,则有根,先由对称轴的位置分类,再考虑二次项系数的正负,2然后考虑判别式的值和区间端点函数的取值.M(a)=f(3)=9a-5,解(1)当m-2=0,即m=2时,由-8x-2=0,有1则g(a)=M(a)-N(a)=9a+-6;1ax=-函数f(x)与x轴的负半轴有一个交点.411(2)当9a-5<a-1,即&a<时,32(2)当m-2(0,即m(2时,函数f(x)的对称轴为2m2m则有M(a)=f(1)=a-1,>0,%0,m-2m-22m12m<0,故g(a)=M(a)-N(a)=a+-2.x=,故有或或m-2am-2m-2>0,m-2<0,!%0,111f(0)<0,f(0)>0,a+-2(&a<),a32则2<m<3或1&m<2综合(1),(2)可知g(a)=119a+-6(&a&1)综上所述,实数m的取值范围是1&m<3.a2(收稿日期:20100612)例6已知函数f(x)=(m-2)x2-4mx+2m-6的∀解题研究∀(2010年第8期∀高中版)35Mr1cos,r1sin(为OM的倾斜角),到一个四边形ABCD,记其面积为S,求面积S的最小值.Nrcos+,rsin+,2222错解由椭圆的对称性即代入椭圆方程得到N-r2sin,r2cos,可知,四边形ABCD为菱形,222cos22sin2由椭圆的参数方程可设点Ar1+sin=1,r2+cos=1,33的坐标为Aacos,bsin,其图21114从而+=+1=2233中0&&,r1r22222211r1r2又因为r1+r2∀2+2=2+2+2%4,因为OA∃OB得点Bacos+,bsin+,r1r2r2r122224化简为B-asin,bcos,即r+r∀%4,123则S=4S)AOB=2OA∀OB,222#MN=r1+r2%3,即MN%3,故所求代入得到MN的最小值为3.S=2a2cos2+b2sin2∀a2sin2+b2cos2,x=4cos∀,化简整理得例2设M为椭圆(∀为参数)上的y=23sin∀,222122222S=2a-b∀sin2+ab%2ab=2ab,4一点,且!xOM=,求点M的坐标.3当sin2=0时取等号,所以此时S有最小值2ab.剖析错解混淆了参数方程中点A的离心角与OA错解将∀=!xOM=直接代入椭圆的参数方程3的倾斜角的概念,得出B的坐标是错误的,显然该题的得:x=4cos=2,y=23sin=3,所以点M的坐标为结论也错了