Δz→0或z→z0的示意图如右：例：设f(z)=zn，求f'(z)=？设存在，则在z点的微分，记作f(z)在点z可导的必要条件是存在，且使我们可讨论沿平行x轴和y轴趋于0的情形。设：Δz=Δx+iΔy，则函数的改变量为2.令Δx=0，Δz=iΔy，即Δz沿平行于y轴的方向趋于0，有若f(z)在点(x,y)可导，则(1)、(2)两式相等，于是补充：全微分对于一元函数y=f(x)，y关于x微分的特性：1.它与自变量的改变成正比；2.当自变量的改变趋于零时，它与函数的改变量之差是较自变量的改变量更高阶的无穷小。且其中A,B与Δx,Δy无关而仅依赖于x,y，则称在点(x,y)可微。并称AΔx+BΔy为f(x,y)在点(x,y)的全微分，记为du或df(x,y),即定理：若f'x(x,y)及f'y(x,y)在点(x,y)及某一邻域内存在且在这一点它们都连续，则函数u=f(x,y)在该点可微。f'x、f'y在点(x,y)连续三、导数存在的充分必要条件—对y求偏导，因为ξ,η存在，所以导数存在又因为，故,可见f(z)在z＝0点满足C–R条件。(2)让Δz以任意方式趋于零，如让Δz沿径向趋于零，即令复变函数的几何意义：当z在Z平面沿曲线L变动时，w在W平面沿曲线L'变动。2.导数的辐角argf'(z0)表示曲线L上点z0的切线与曲线L'若函数f(z)在点z0的ε邻域内点点可导，则称在点z0解析；(注：a.点z0的ε邻域是指满足∣z–z0∣<ε的点的集合，包含z0点本身。b.在点z0解析比在点z0可导要求高，若说在z0点可导，则仅意味着在该点的导数存在)2.若函数在区域D内点点可导，则称f(z)在区域D内解析；3.若f(z)在包含的某个开区域解析,则称在闭区域中解析(那个开区域比大)；4.若函数在点a不解析,则称点a是f(z)的奇点。(二)、函数解析的充要条件定理二函数f(z)在区域D(或点z)解析的充要条件：在区域D(或点z的ε邻域)内各点u(x,y)和v(x,y)可微并满足C–R条件。(证明略)说明：1.由解析函数的定义可见解析函数是从普遍的复变函数中加上很强的条件后选出来的一类特殊的复变函数(这一类函数在物理学中有广泛的应用)。这个条件不仅要求函数在严格的意义下可导(极限值与Δz→0的方式无关)，而且还要求它在某个区域中处处可导。2.解析函数的实部和虚部通过柯西—黎曼条件互相联系，并不独立。例1：讨论f(z)=x+ixy的解析性，即求解其解析区域。解：1.f(z)可导区域，即u,v可微并满足C–R条件的区域例2．讨论f(z)=ez的解析区域。上式左边是全微分，起始点确定后，上式积分后左边的值就确定了，因此等式右边积分与路径无关。例.3已知解析函数w=f(z)的实部u(x,y)=x2–y2，且w(0)=0。求函数f(z)。解沿图1-3-2的路径进行积分例4已知解析函数的虚部v(x,y)=2(x2–y2)+x，求解析函数f(z)。由此得(c)不定积分法。ux=–4y对x作不定积分，由于被积函数是二元函数，故“积分常数”应与积分变量x无关，但它可以是另一变量y的函数，即(11)命题：在区域D内的解析函数f(z)=u+iv的实部与虚部都是调和函数。