考察A2：A2是D的10-组合中多于4个b的组合全体即A2是D的10-组合中b至少出现5个的组合全体对A2的任一10-组合中拿走5个b，就是D的5-组合。对D的任一5-组合，加入5个b，就是b至少出现5个的10-组合，所以|A2|就是D的5-组合数，即|A2|=C(3+5-1,5)=C(7,5)=C(7,2)，考察A3：A3是D的10-组合中多于5个c的组合全体，即A3是D的10-组合中c至少出现6个的组合全体对A3的任一10-组合中拿走6个c，就是D的4-组合。对D的任一4-组合，加入6个c，就是c至少出现6个的10-组合，所以|A3|就是D的4-组合数，即|A3|=C(3+4-1,4)=C(6,4)=C(6,2)，考察A1∩A2：A1∩A2是D的10-组合中多于3个a和多于4个b的组合全体，即A1∩A2是D的10-组合中a至少出现4个且b至少出现5个的组合全体。对A1∩A2的任一10-组合中拿走4个a和5个b就是D的1-组合。对D的任一1-组合，加入4个a和5个b,就是a至少出现4个且b至少出现5个的10-组合，所以|A1∩A2|就是D的1-组合数，即|A1∩A2|=C(3+1-1,1)=C(3,1)，考察A1∩A3：A1∩A3是D的10-组合中多于3个a和多于5个c的组合全体，即A1∩A3是D的10-组合中a至少出现4个且c至少出现6个的组合全体。对A1∩A3的任一10-组合中拿走4个a，6个c就是D的0-组合。所以|A1∩A3|就是D的0-组合数，即|A1∩A3|=1，考察A2∩A3：A2∩A3是D的10-组合中多于4个b和多于5个c的组合全体，即A2∩A3是D的10-组合中b至少出现5个且c至少出现6个的组合全体，这样的组合是不存在的。例：求x1+x2+x3=5(0x12,0x22,1x35)的整数解个数。解:将约束条件一律改为0。令x3'=x3-1，则原问题即为求在约束条件0x12,0x22,0x3'4下x1+x2+x3'=4的整数解个数。此问题与多重集S={2·a,2·b,4·c}的4-组合数相同。把容斥原理应用到多重集D={·a,·b,·c}的所有4-组合的集合Y上，则S的4-组合全体即为Y的子集。令P1表示D的4-组合中多于2个a这一性质，P2表示D的4-组合中多于2个b这一性质，P3表示D的4-组合中多于4个c这一性质，令Ai(i=1,2,3)表示D的具有性质Pi(i=1,2,3)的4-组合全体。则4-组合数等于考察A1：A1是D的4-组合中多于2个a的组合全体，即A1是D的4-组合中a至少出现3个的组合全体。对A1的任一4-组合中拿走3个a，就是D的1-组合。又对D的任一1-组合，加入3个a，就是a至少出现3个的4-组合，所以|A1|就是D的1-组合数，即|A1|=C(3+1-1,1)=C(3,1)，考察A2：A2是D的4-组合中多于2个b的组合全体，即A2是D的4-组合中b至少出现3个的组合全体。对A2的任一4-组合中拿走3个b，就是D的1-组合。对D的任一1-组合，加入3个b，就是b至少出现3个的4-组合，所以|A2|就是D的1-组合数，即|A2|=C(3+1-1,1)=C(3,1)，考察A3：A3是D的4-组合中多于4个c的组合全体即A3是D的4-组合中c至少出现5个的组合全体,这样的组合是不存在的。即|A3|=0考察A1∩A2：A1∩A2是D的4-组合中多于2个a和多于2个b的组合全体，即A1∩A2是D的4-组合中a至少出现3个且b至少出现3个的组合全体。这样的组合是不存在的。即|A1∩A2|=0，类似可以知道|A1∩A3|=|A2∩A3|=|A1∩A2∩A3|=0。因此三、错位问题现在考虑这样的问题：在书架上有5本书，把它们全部拿下来，然后再放回去，要使得没有一本在原来位置上，有多少种放法？这就是错位排列问题。定义：设集合S={1,2,…,n}，如果S的一个排列，i1,i2,…,in,满足i11,i22,…,inn,则称该排列是S的一个错位排列。S的所有错位排列数记为Dn。当n=1时，只有一个数，不存在错位，所以D1=0；当n=2时，1,2错位，只能排成2,1，所以D2=1；当n=3时，1,2,3错位，可排成2,3,1，或3,1,2，所以D3=2；定理：对于n1，有例：(1)重新排列1,2,…,8,9，使得偶数在其自然顺序位置上，而奇数不在其自然顺序位置上，问满足这样要求的排列个数是多少？(2)若要求只有4个数在原来位置上，又有多少种排列个数？解：(1)偶数在原来位置上，因此仅是把1,3,5,7,9重新排列问题，现要求奇数错位，因此是5个元素错