3.3三角函数的奇偶性与单调性【知识网络】1．正弦、余弦、正切函数的奇偶性、对称性；２．正弦、余弦、正切函数的的单调性．【典型例题】［例1］(1)已知，函数为奇函数，则a＝（）（A）0（B）1（C）－1（D）±1(1)A提示：由题意可知，得a=0（2）函数的单调增区间为()A．B．C．D．(2)C提示：令可得（3）定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为()A.B.C.D.(3)B提示：（4）如果是奇函数，则．(4)－２由（５）已知函数满足以下三个条件：在上是增函数②以为最小正周期③是偶函数试写出一满足以上性质的一个函数解析式．(5)提示：答案不唯一，如还可写成等［例2］判断下列函数的奇偶性（１）；(2)；(3)；(4)．解：（1）的定义域为，故其定义域关于原点对称，又为奇函数（2）时，，而，的定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数。（3）的定义域为R，又为偶函数。（4）由得，又，故此函数的定义域为，关于原点对称，此时既是奇函数，又是偶函数。［例3］已知:函数．(1)求它的定义域和值域；(2)判断它的奇偶性；(3)求它的单调区间；（4）判断它的周期性,若是周期函数,求它的最小正周期.解:(1).由定义域为,值域为(2).定义域不关于原点对称,函数为非奇非偶函数（3）的递增区间为递减区间为(4).是周期函数,最小正周期T.［例4］已知函数，．求:(=1\*ROMANI)函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；(=2\*ROMANII)函数的单调增区间．解(=1\*ROMANI)当,即时,取得最大值.函数的取得最大值的自变量的集合为.(=2\*ROMANII)由题意得:即:因此函数的单调增区间为.【课内练习】1．函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)的图像关于原点对称的充要条件是（）A．φ=2kπ－eq\f(π,6)，k∈ZB．φ=kπ－eq\f(π,6)，k∈ZC．φ=2kπ－eq\f(π,3)，k∈ZD．φ=kπ－eq\f(π,3)，k∈Z1．D提示：令可得2．在中，，若函数在[0，1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是（A）（B）（C）（D）2．C提示：根据所以3.同时具有性质“⑴最小正周期是；⑵图象关于直线对称；⑶在上是增函数”的一个函数是()ABCD3．D提示：由性质(1)和(2)可排除A和C,再求出的增区间即可4．设函数，若，则下列不等式必定成立的是（）A．B．C．D．4．B提示：易知，且当x∈时，为增函数．又由，得，故|，于是．5.判断下列函数奇偶性（1）是；（2）是；（3）f（x）=是．5．（1）偶函数（２）非奇非偶函数（３）奇函数提示：先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后用奇函数和偶函数的定义判断6.若是以5为周期的奇函数，且，则=．6．-4提示：７．五个函数①②③④⑤中，同时满足且的函数的序号为．7．③提示：①②⑤不满足④不满足8．求下列函数的单调区间.(1)(2)解:(1).原函数变形为令,则只需求的单调区间即可.,()上即,()上单调递增,在,上即,上单调递减故的递减区间为:递增区间为:.(2)原函数的增减区间即是函数的减增区间,令由函数的图象可知:周期且在上,即上递增,在即在上递减故所求的递减区间为,递增区间为()９．已知为奇函数，且当时，．当时，求的解析式；当时，求的解析式．解：（１）当时，则，，又为奇函数，所以当时，为奇函数，所以由（１）知10．已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值．解：由是上的偶函数，得，即，展开整理得：，对任意都成立，且，所以．又，所以．由的图象关于点对称，得．取，得，所以，∴．所以，．即；；；综上所得，作业本A组１．函数y=－xcosx的部分图象是（）1.D提示：y=－xcosx为奇函数，且当.2．函数y=2sin（－2x）（x∈［0，π］）为增函数的区间是（）A.［0，］B.［，］C.［，］D.［，π］2．C提示：由y=2sin（－2x）=－2sin（2x－）其增区间可由y=2sin（2x－）的减区间得到，即2kπ+≤2x－≤2kπ+，k∈Z.∴kπ+≤x≤kπ+，k∈Z.令k=0，故选C.３．若是周期为的奇函数，则可以是（）A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x3．B4.已知，则＝．4．-17提示:5．已知的一条对称轴