第六章常微分方程的数值解法本章内容一.问题提出有一个或多个导数及其函数的方程式称为微分方程，在工程中常遇到求解微分方程的问题。§6.1引言q(x)实际问题中还存在初边值混合问题，如梁在横向激励下的弯曲振动。高阶常微分方程可以化成一阶的常微分方程组很多微分方程的解不能用初等函数来表示，有时即使能够用解析式表示其解，但计算量太大而不实用(表达式过于复杂)。需要用数值方法来求解，一般只要求得到若干个点上的近似值或者解的简单的近似表达式(精度要求满足即可)。§6.1引言§6.1引言初值问题的常见解法§6.2欧拉方法及其改进Euler’sMethod6.2.1欧拉公式：/*Euler’sMethod*/x§6.2欧拉方法及其改进§7.2欧拉方法§6.2欧拉方法及其改进§7.2欧拉方法§7.2欧拉方法§6.2欧拉方法及其改进§6.2欧拉方法及其改进§6.2欧拉方法及其改进显、隐式两种算法的平均。需要迭代求解，能否不迭代？§7.2欧拉方法及其改进§7.2欧拉方法§7.2欧拉方法§6.3龙格—库塔方法单步法：即利用前一个节点的函数值yi，计算后一个节点的函数值yi+1。目的：建立高精度的单步递推格式。单步递推法的基本思想是从(xi,yi)点出发，以某一斜率沿直线达到(xi+1,yi+1)点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。斜率一定取K1K2的平均值吗？§7.3龙格—库塔方法Step3:将y(xi+1)在xi点的泰勒展开并与yi+1作比较其中i(i=1,…,m)，i(i=2,…,m)和ij(i=2,…,m;j=1,…,i1)均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。3阶龙格-库塔法§6.3龙格—库塔方法注：龙格-库塔法的主要运算在于计算Ki的值，即计算f的值。Butcher于1965年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系：§7.3龙格—库塔方法§7.3龙格—库塔方法§7.3龙格—库塔方法§7.3龙格—库塔方法步长过大，达不到精度要求；步长过小，虽然局部截断误差小，加大了计算工作量，舍入误差的累积增大。解决途径之一——引入变步长技术，常用的有Richardson外推法。从结点xi出发，先以h为步长，通过一步计算出y(xi+1)的近似值...§7.2欧拉方法例：就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。§7.2欧拉方法§7.2欧拉方法一般分析时为简单起见，只考虑试验方程§6.5收敛性与稳定性Euler法的绝对稳定区域§7.3龙格—库塔方法§6.6一阶常微分方程组与高阶方程设为节点上的近似解，则有改进的Euler格式为式中例用改进的Euler法求解初值问题由初值,计算得6.6.1一阶常微分方程组.例求解下列二阶微分方程的初值问题.然后计算时的y2和z2；依此类推，直到i=9时的y10和z10，即可得到其数值解。§6.7边值问题的数值解法