实变函数测试题91、若的基数为，证明：存在，使得的基数也是。证明：由于，我们不妨设。用反证法，若，设为到中如下定义的映射：若，则。令，则。所以对每个，存在。于是。下证。事实上，若，则存在，使得，于是，这与矛盾，所以，这又与矛盾，所以至少存在某个，使。证毕。2、用三进位无限小数表示康托尔集中的数时，完全可以用不着数字1，试用此事实证明的基数为。证明先用三进位有限小数来表示集的余区间的端点（都属于），则有一般地，第次挖掉的个开区间中，，其中都只是0或2。因此，在中的数展成三进位小数时，其中至少有一位是1，于是把中的数展成三进位无限小数时可以用不着数字1，即若，则可表示成，其中或为0或为2，记这种小数全体为，则，事实上，由于，而中的数展成三进位小数时，诸中至少有一位是1，所以中没有中的数，因此。作到二进位小数全体的映射：。其中＝0或2，则是到上的1－1映射，所以的基数为。由，得，又，所以。证毕。3、设是一列递增的可测集合，则证明：因为是一列递增的集合，于是可令。因有，其中各被加项都可测且互不相交，故应用定理（即）公式（7）即得（令(空集)）。证毕。4、设且。若是可测集，证明注：本题中条件去掉，结论依然成立。证明：因为是可测集，另一方面，，由，有，于是，代入上式，即得。证毕设为中两个集合，，又是可测集且。若，试证是可测集。证明：可测，则对于使得，，令则所以。因，所以，即可测，而，所以可测。设是上a.e.有限的可测函数，。试证明对，存在上a.e.有界的可测函数，使得。证明：令，，，则。且有，则，又，则。所以对存在，使得。定义函数则在上可测，则，当.又。证毕。设为上可测函数列，证明它的收敛点集与发散点集都是可测的。证明由定理可知，和都是上可测函数。显然是收敛到+的点所组成的集，是收敛到的点所组成的集，是不收敛的点所组成的集。因此在上收敛的点所组成的集为，因而是可测集。而发散点为，也是可测集合。证毕。设在上可积分，在上可积分，试证在上可积分。证明：由于在上可积，因此是上的可测函数，从而看做上的函数也是可测的。同理，在上也是可测的，所以在上可测。当均是非负时，由Fubini定理，有，所以在上可积。当均是一般的可积函数时，易知，，，都是非负可积的。由于中每一项均是可积的，从而是可积的。证毕。9、设在上可积，则对任何，必存在上的连续函数，使。证明：设，由于在上a.e.有限，故。由积分的绝对连续性，，必存在，使得。令，在上应用鲁津定理，存在闭集和在上连续的函数使得如下两条件：（a）；（b）时，，且。所以10、试述绝对连续函数的定义，并进一步指出绝对连续函数与一致连续，有界变差函数，满足Lipschitz条件的函数的关系。解：绝对连续函数：设为上的有限函数，如果对任何,存在,使对中互不相交的任意有限个开区间，只要就有，则称为上的绝对连续函数。绝对连续函数是一致连续函数，并且也是有界变差函数。满足Lipschitz条件的函数是绝对连续函数。