实变函数试题集锦.pdf
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实变函数试题集锦实变函数测试题集锦一、填空题1An,2limAnnn1,2设,,则n.a,b,,因为存在两个集合之间的一一映射为.设E是R中函数21cos,x0yx0,x0的图形上的点所组成的集合,则E,E.集.若集合ER满足EE,则E为n若,是直线上开集G的一个构成区间,则,满足:,.设E使闭区间a,b中的全体无理数集,则mE.mEfn(x)f(x)0f(x)在E上若,则说n设ER,聚点.n.,则称x0Rn,若x0是E的fn(x)E设是上几乎处处有限的可测函数列,f(x)是E上几乎处处有fn(x)0限的可测函数,若,有,则称在E上依测度收敛于f(x).设fn(x)f(x),xE,则fn(x)f的子列nj(x),使得.1n,1=.11.n1n1n1,n=.12.n1n13.(0,1)到(a,ab)的双射是.14.E的全体聚点所组成的集合包含于E的充要条件是.15.[0,1]中无理数集的外测度为.16.R中所有开集生成的代数记为B,称B中的集合为.n17.若mA0,则对任意的点集B*,必有m(AB)*.*18.当E为闭区间时,mE.19.设函数f(x)在可测集E上几乎处处有限,若对任意给定的0,存在E中的一个闭集F,使,且f(x)在F上连续,则f(x)是可测集E上的.20.是否存在开集使其余集仍为开集(是或不是选其一填写).21.如果则称E是自密集,如果则称E是开集,如果EE则称E是.22.设G表示为一列开集{Gi}G之交集:Gi1i,则G称为.i23.若F表示为一列闭集{Fi}F之并集:Fi1,则F称为.24.a,bR(ba),f在E上可测,则E(fa)E(fb)=.25.Cantor集的外测度为.26.(Fatou引理)设.{fn}q是可测集ER上一列非负可测函数,则二、判断题.正确的证明,错误的举反例.若A,B可测,AB且AB,则mAmB.设E为点集,PE,则P是E的外点.1E1,2,,n的闭集.点集任意多个闭集的并集是闭集.若ER,满足mE,则E为无限集合.n*6.若E与它的真子集对等,则E一定是有限集.7.凡非负可测函数都是L可积的.18.设A为R空间中一非空集,若Aa.则Aa.9.设E为可测集,则存在G型集F,使得FE,且m(EF)0.(L)a,b10.f(x)在a,b上L可积,则f(x)在a,bR可积且f(x)dx(R)f(x)dxab三、计算证明题1.证明:ABCABAC32.设M是R空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,有理数为半径的球的全体,证明M为可数集.nEBBi1,2.根据题意,若有iER3.设,且i为可测集,m*BiE0,i,证明E是可测集.3ln1x,xPf(x)2x,x0,1PCantorP设是集,.求(L)f(x)dx1.3设函数f(x)PP在Cantor集0中点x上取值为x,而在0的余集中长为11nn3的构成区间上取值为6,n1,2,求10f(x)dx.10求极限:.7.开集减闭集后的差集为开集,闭集减开集后的差集为闭集.8.R上全体有理数点集的外测度为零.9.设函数列{fn}在E上依测度收敛f,且fnha.e于E,则fha.e于E.10.设11.limf(x)在a,b上可积,则t010lim(R)nnx1nx23sinnxdx3nbaf(xt)f(x)dx0.mlim(L)mx1mx22sinmxdx.12、证明limAn=nAmn1mn。mm证明:设xAnn,则Nm,使一切nN,xAnx,所以Amn1An1mn,limAnnAn1mn。设AnxAmn1mn,则有n,使xAmnmxAnn。因此,n2=An1mn2m。213、设E2x,yxy12。求E在R内的2E'2E2