会计学6．1运输(yùnshū)问题起点管理层想知道从每个加工厂运输到分销中心的产品运输量为多少。图6-1显示了12条福斯特公司可以用的配送线路。这种图称为网络图；圆圈表示(biǎoshì)节点，连接节点的线条表示(biǎoshì)弧。每个起点和目的地都由节点表示(biǎoshì)，每个可能的运输路线都由弧表示(biǎoshì)。供给量写在起始节点边上，需求量写在每个目的地的节点边上。从起始节点到目的地节点之间运输的货物数量表示(biǎoshì)了这个网络的流量。注意：直接流量（从起点到终点）使用带箭头的线条表示(biǎoshì)的。对应这个福斯特公司的运输问题的目标是要确定使用哪些路线以及每条路线上的流量是多少时，使得总的运输成本最低。每条线路单位运输产品的运输费用在表6-1中给定并在图6-1中的每条弧线上标明。线性规划模型可以用来解决这类运输问题(wèntí)，我们将用双下标决策变量来描述变量，用X11来表示从起点节点1（克利夫兰）到目的地节点1（波士顿）之间的运输量；用X12来表示从起点节点1（克利夫兰）到目的地节点2（芝加哥）之间的运输量，其他类似。一般情况子下，一个有m个起点和n个目的地的运输问题(wèntí)的决策变量常被表示成以下形式：Xij—从起点i到目的地j之间的运输量。式中，i=1,2,3,···，m,j=1,2,3,···,n。因为运输问题的目标是最小化运输成本(chéngběn)，我们可以使用表6-1中的成本(chéngběn)数据或者图6-1中弧上的数据来构造如下的成本(chéngběn)表达式：从克利夫兰出发运出的所有运输成本(chéngběn)=3X11+2X12+7X13+6X14从贝德福德出发运出的所有运输成本(chéngběn)=7X21+5X22+2X23+3X24从约克出发运出的所有运输成本(chéngběn)=2X31+5X32+4X33+5X34这些表达式加起来的总和就是福斯特公司发电机运输总成本(chéngběn)的目标函数。min3X11+2X12+7X13+6X14+7X21+5X22+2X23+3X24+2X31+5X32+4X33+5X34s.t.X11+X12+X13+X14≤5000X21+X22+X23+X24≤6000X31+X32+X33+X34≤2500X11+X21+X31=6000X12+X22+X32=4000X13+X23+X33=2000X14+X24+X34=1500Xij≥0,其中(qízhōng)，i=1,2,3;j=1,2,3,4。我们利用管理科学软件的线性规划模型解决(jiějué)了福斯特公司发电机的问题。计算机的计算结果（见图6-2）显示最小的运输成本为39500美元。决策变量的值表示了每条线路运输的最优运输量。例如，x11=3500,意味着从克利夫兰到芝加哥这条线路上应当运输3500单位的发电机，x12=1500意味着应将1500单位的发电机从克利夫兰运送到芝加哥。决策变量的其他值指明了剩余的运输数量和路线。表6-2是在最低运输成本下的运输计划表，图6-3总结了网络图的最优解。总供给不等于总需求通常情况下总供给不等于总需求。如果总供给超过总需求，线性规划(xiànxìnɡɡuīhuá)模型不需要进行修改。多余的供给总量在线性规划(xiànxìnɡɡuīhuá)解决方案中表现为松弛。而任何起点的松弛都可以被理解为未使用的供给或为未从起点运输的货物数量。如果总供给小于总需求，运输问题的线性规划(xiànxìnɡɡuīhuá)模型没有可行解，在这种情况下，我们可以对网络作如下修改：增加一个虚拟起点，这个起点的供给恰好等于不被满足的需求。增加从这个虚拟起点到每个终点的弧，线性规划(xiànxìnɡɡuīhuá)模型就会有可行的解决方法了。我们规定每条从虚拟起点出发的弧上单位的运输成本为零。这样，经过修改的问题的最优解将会代表实际运输的货物的运输成本（虚拟起点出发的路线没有实际运输发生）。当我们执行这个最优解时，目的地节点处显示的运输量为这个节点需求不被满足的货物短缺量。最大化目标函数在某些运输问题中，目标是要找到最大化利润或收入的解决方案。这种情况下我们只要把单位利润或收入作为一个系数列入目标函数中，简单地把最小改为最大，约束条件不变就可求得线性规划的最大值而不是最小值。路线容量和/或路线最小量运输问题的线性规划模型也能够包含一条或更多的路线容量或最小数量问题。例如，假设在福斯特公司发电机运输问题中，约克——波士顿路线(起点3到终点1)因为其常规运输模式中有限空间的限制，只有(zhǐyǒu)1000单位的运输能力。用x31表示约克——波士顿路线的运输量，那么这条路线的运输能力约束为：x31≤1000类似的，