会计学非零常见的向量(xiàngliàng)夹角θ的三种形式：2．平面向量的数量积(1)数量积的定义已知两个向量a与b，我们把数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作，即.其中θ是a与b的夹角，叫做向量a在b方向上的投影．规定：零向量与任何向量的数量积为.(2)数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度(chángdù)|a|与b在a的方向上的的乘积．/3．平面(píngmiàn)向量数量积的性质设a，b是两个非零向量，e是单位向量，则有：(1)e·a＝(θ为a，e的夹角)．(2)a⊥b⇔.(3)当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝，特别地，a·a＝a2＝|a|2.(4)|a·b|≤.(5)cosθ＝.4．平面向量数量(shùliàng)积的运算律(1)a·b＝.(2)(λa)·b＝＝(λ∈R)．(3)(a＋b)·c＝.向量的数量(shùliàng)积不满足结合律：一般地，(a·b)c≠a(b·c)．同样，由a·b＝b·c不能得出a＝c，由a·b＝0不能推出a＝0，或b＝0.5．数量积的坐标(zuòbiāo)表示(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝.6．平面向量应用举例(1)平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此可以用向量方法解决部分几何问题．(2)物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似(xiānɡsì)，故可以用向量的知识来解决某些物理问题．(3)平面向量作为一种重要的数学工具，经常与函数、不等式、三角函数、解三角形、解析几何等知识相结合进行考查．1．(2009年全国卷Ⅰ)设非零向量(xiàngliàng)a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则<a，b>＝()A．150°B．120°C．60°D．30°【解析】∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2.又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2，即2|a||b|cos<a，b>＝－|b|2.∴cos<a，b>＝－，∴<a，b>＝120°.【答案】B2．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则a·(b·c)等于(děngyú)()A．(26，－78)B．(－28，－42)C．－52D．－78【解析】a·(b·c)＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26，－78)．【答案】A/【答案(dáàn)】C///已知等边三角形ABC的边长为1，求：【思路点拨】利用向量数量积的定义(dìngyì)、运算律及模的求法求解，注意两向量夹角的定义(dìngyì)．//////1．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角(jiājiǎo)θ；(2)求|a＋b|；//(2009年江苏卷)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直(chuízhí)，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.【解析】(1)因为a与b－2c垂直，所以(suǒyǐ)a·(b－2c)＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2./与三角(sānjiǎo)函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角(sānjiǎo)恒等变换的相关知识．////平面向量的数量积是高考重点考查的内容，直接考查的是数量积的概念、运算律、性质，向量的平行、垂直，向量的夹角与距离等，主要以选择题、填空题的形式出现，但有时也以解答题的形式出现，应高度重视．而间接考查的主要是平面向量在函数、解析几何、三角函数中的应用(yìngyòng)，在这样的综合问题中，平面向量主要起着叙述条件和迷惑视线的作用，考查向量本身的知识还是与直接考查的要求一样．/【解析(jiěxī)】设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②【答案】D2．(2009年湖南卷)已知向量(xiàngliàng)a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求ta