第页对数列竞赛题的一些分析胡毅数列题在中学数学竞赛中时有出现，是中学数学竞赛的一个重要组成部分。数列与中学数学中的函数、数学归纳法、极限等内容都有紧密的联系，是中学数学教学的一个重要内容。数列在高等数学中也有着广泛的应用，解数列竞赛题对于锻炼一个人的数学思维水平，提高他灵活运用数学知识的能力是有相当大的帮助的。解数学题，就是把一系列有关的数学原理，按照一定的逻辑顺序，应用于题目所给的条件或中间结果，从而得到题目所要求的答案。而解数列竞赛题所用的知识点较多，解题方法也类型多样，往往是综合应用多方面的知识和各种解题方法的结果。这比解一般的数列题困难得多。尽管如此，解数列竞赛题还是有一定规律可循的。解数列竞赛题最常用的方法就是叠进相加与叠进相乘了，这是解数列题所特有的一种方法，它的运用十分广泛。而构造辅助数列也是一种常用的技巧，数学归纳法和反证法在解数列竞赛题中也时有应用。在解数列竞赛题所涉及到的其他知识方面，应用频率最高的无疑是数论和极限方面的知识。当然，这些内容对于解普通的数列题也是有帮助的。下面就结合一些典型的数列竞赛题，对其解题过程作一个归纳分析。一、叠进相加与叠进相乘叠进相加与叠进相乘是解决数列问题的一个极其常用的方法。举一个简单的例子来说，等差数列与等比数列可看作是特殊的递推数列：=+d，=·q，通过这个递推关系求等差数列与等比数列通项的基本方法，就是“叠进相加与叠进相乘”的方法，具体地说，就是：对于等差数列{}：=+d，则有；；…=+d。上述式子两边分别相加，得=+（n—1）d。对于等比数列{}：=·q，则就有；；…=q；上面各式相乘，得。从以上的例子可以看出，所谓叠进相加与叠进相乘就是利用一个已知的式子，这个式子往往包含了、、等项，这时将n=1，2，3，…，k代入，就可以得到k个式子，将其累加或累乘，可以消去其中的大多数项，得到一个相对简便的结果，从而达到帮助解题的目的。由于数列的递推关系给出了数列{}相邻几项的关系式，所以这种方法在递推数列中尤其常用。在有些数列问题中，已知条件所给出的式子含有两个或两个以上的数列的相邻几项，这时往往也可以应用叠进相加与叠进相乘的办法解决问题。对于有些数列竞赛题而言，直接应用叠进相加与叠进相乘来解决问题比较困难，这时往往要通过恒等式的变形、不等式的变形与放缩等方法才能得到可以进行叠进相加与叠进相乘的式子，完成解答。例1、数列、、…、、…由下列形式定义：==1，=（）。证明：数列中所有的数都是整数。证明：由递推关系有：即同理可得…以上各项相乘，得：，又由==1，可求得=3。，。由==1，=3，代入上面递推式可知：均为整数。说明：由于要证明均为整数，故只需将递推关系中的分母去掉，换成另一无分母的递推关系即可。在由递推关系定义的数列问题中，经常可以用叠进相加或相乘的办法来解决问题，此题便是如此。通过恒等变形做到后，若能发现将n＝４，５，…，k代入后得到的一串式子用叠进相乘的方法可消去大多数项，那么这道题就可迎刃而解了。例２、设{}是具有下列性质的实数列：，数列{}定义如下：(n=１，２，３，…)求证：对于所有的n=１，２，３，…，成立．证明：我们注意到，故对于一切n，有。由的定义可知，中的第k项是：＝＝（＊）其中把k=１，２，…，n代入（＊）式，可得k个不等式，把这k个不等式相加，我们即可看到右式成一叠进和式，即有：；所以对于一切自然数n，都有：＝＜２．说明：此题的关键在于如何将由一串和式放大为较易处理的式子，由此想到先将的每一项均放大为可叠进相加的形式，即可解决问题．二、构造辅助数列在解数列竞赛题中，有时仅靠题目本身所给的数列很难与结论联系起来。这时候，我们就需要在已知与结论之间搭起一座桥梁，即构造辅助数列，则可达到化难为易、帮助解题的目的。在所有的辅助数列中，由数列{}的前n项之和组成的数列{}是一个非常重要，也是经常使用的辅助数列。尤其是在题目中所给出的结论中出现了的和的形式的时候，我们通常会构造辅助数列{}，其中=++…+(i=1,2,…,n,…)，随后再利用题目所给的已知条件进行解题。在利用{}进行解题的时候，我们应该注意数列的通项与前n项和的关系：=—（n2）这也是最基本的关系式。对于其他的辅助数列，如数列{}相邻两项之差构成的数列{}（其中=—）；数列{}，{}相应项之和构成的数列{}（其中=+）也是经常用到的。构造辅助数列的方法多种多样，关键是要在分析题意的基础上，通过对题目的理解和对其他常用数列的了解，才能构造出能帮助解题的辅助数列。例3、已知实数列{}具有以下性质：存在自然数n，满足。证明：存在自然数N，使得当k=1,2,…时，满足不等式