第2讲数字谜（二）这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例1在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，求分析与解：这道题可以从个位开始，比较等式两边的数，逐个确定各个字母所代表的数码。现在，我们从另一个角度来解。与只是1所在的位置不同，设X=，则算是变为（100000+x）×3=10x+1，300000+3x=10x+1，7x=299999，x=42857。这种代数方法干净利落，比用传统方法解简洁。我们再看几个例子。例2在□内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。解：设备乘数为X，由知，又由知。因为X是整数，所以X=124。右上式为所求竖式。例3左下方的除法竖式中只有一个8，请在□内填入适当的数字，使除法竖式成立。解：竖式中除数与8的积是三位数，而与商的百位和个位的积都是四位数，所以商为989.设除数为X，由知；由竖式特点知，除数与8的乘积的百位数不可能是9，即，所以。又因为X是整数，所以x=112，被除数为989×112=110768。右上式为所求竖式。代数解法虽然简洁，但只适用于一些特殊情况，大多数情况还要用传统的方法。例4在□内填入适当数字，使下页左上方的小数除法竖式成立。分析与解：先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖式（见下页右上方竖式）。可以看出，除数与商的后三位数的乘积是1000=23×53的倍数，即除数和商的后三位数一个是23=8的倍数，另一个是53=125的奇数倍，因为除数是两位数，所以除数是8的倍数。又由竖式特点知a=9，从而除数应是96的两位数的约数，可能的取值有96，48，32，24和16。因为，c=5，5与除数的乘积仍是两位数，所以除数只能是16，进而推知b=6。因为商的后三位数是125的奇数倍，只能是125，375，625和875之一，经试验只能取375。至此，已求出除数为16，商为6.375，故被除数为6.375×16=102。右式即为所求竖式。求解此类小数除法竖式题，应先将其化为整数除法竖式，如果被除数的末尾出现n个0，则在除数和商中，一个含有因子2n（不含因子5），另一个含有因子5n（不含因子2），以此为突破口即可求解。例5一个五位数被一个一位数除得到下页的竖式（1），这个五位数被另一个一位数除得到下页的竖式（2），求这个五位数。分析与解：由竖式（1）可以看出被除数为10**0（见竖式（1）'），竖式（1）的除数为3或9。在竖式（2）中，被除数的前两位数10不能被整数整除，故除数不是2或5，而被除数的后两位数*0能被除数整除，所以除数是4，6或8。当竖式（1）的除数为3时，由竖式（1）'知，a=1或2，所以被除数为100*0或101*0，再由竖式（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，可得竖式（2）的除数为4，被除数为10020；当竖式（1）的除数为9时，由能被9整除的数的特征，被除数的百位与十位数字之和应为8。因为竖式（2）的除数只能是4，6，8，由竖式（2）知被除数的百位数为偶数，故被除数只有10080，10260，10440和10620四种可能，最后由竖式（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，且十位数不能被除数整除，可得竖式（2）的除数为8，被除数为10440。所以这个五位数是10020或10440。练习21.下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，求出及：2.用代数方法求解下列竖式：3.在□内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立：