北京市第一次普通高中2023-2024学年高二上学期学业水平合格性考试数学试题一、单选题1.若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A．B．6C．4D．2.函数，若的解集为，且中恰有两个整数，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．3.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．B．C．D．4.若双曲线上存在一点P满足以为边长的正方形的面积等于（其中O为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．5.已知实数满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．6.不等式“”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7.天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化.第一颗被描述的经典造父变星是在1784年.上图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，其中视星等的数值越小，亮度越高，则此变星亮度变化的周期、最亮时视星等，分别约是（）A．5.5，3.7B．5.4，4.4C．6.5，3.7D．5.5，4.48.已知数列的前n项和为，，则以下满足的数列是（）A．B．C．D．二、多选题9.若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互素，欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数k，且与k互素的正整数的个数，例如：，，，．下列说法正确的是（）A．B．数列为递增数列C．D．数列的前n项和为，则10.已知三棱柱的体积为，底面满足，，，若在底面上的投影恰好在直线上，则下列说法中，正确的有（）北京市第一次普通高中2023-2024学年高二上学期学业水平合格性考试数学试题A．恒有B．与底面所成角的最大值为C．恒有D．三棱锥外接球表面积的最小值为11.在数列中，，，则以下结论正确的为（）．A．数列为等差数列B．C．当取最大值时，n的值为51D．当数列的前n项和取得最大值时，n的值为49或5112.在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，均与底面垂直，且，点分别为线段的中点，则下列说法正确的是（）A．直线与所在平面相交B．三棱锥的外接球的表面积为C．直线与直线所成角的余弦值为D．二面角中，平面，平面为棱上不同两点，，若，，则三、填空题13.已知、，直线上有且只有一个点满足，写出满足条件的其中一条直线的方程__________．14.的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含的项的系数为______.15.若是等差数列的前项和，，则______．四、解答题16.若数列的前n项和为，首项且.（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前n项和.17.如图1，在梯形中，，，.将与分别绕，旋转，使得点，相交于一点，设为点，形成图2，且二面角与二面角都是45°.（1）证明：平面平面；（2）若，且梯形的面积为，求二面角的余弦值.18.已知在直四棱柱中，AD∥BC，AB⊥BC，，AB=1，，为的中点，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.（1）求证：；（2）若点是棱上的点，且三棱锥的体积为，求直线和平面所成角的正弦值的大小.19.如图，在四棱锥中，已知，，，，，，为中点，为中点.(1)证明：平面平面；(2)若，求平面与平面所成夹角的余弦值.20.已知函数，.(1)若函数在上单调递增，求a的取值范围；(2)若，求证：.21.已知函数.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)若，恒成立，求a的取值范围.