山西省2023-2024学年高二上学期普通高中学业水平合格性考试适应性测试数学试题一、单选题1.已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（）A．B．C．50D．2.点到直线的距离的最大值为（）A．1B．C．D．3.已知向量，，则在方向上的投影为（）A．B．C．D．4.拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若在上满足以下条件：①在上图象连续，②在内导数存在，则在内至少存在一点，使得（为的导函数）．则函数在上这样的点的个数为（）A．1B．2C．3D．45.函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．6.某单位为了解办公楼用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了四个工作日用电量与当天平均气温，如下表：气温x（℃）181310－1用电量y（度）24343864由表中数据得到线性回归方程为，当气温为－4℃时，预测用电量为（）A．69度B．68度C．66度D．52度7.（）A．9B．3C．2D．8.已知集合，则（）A．B．C．D．二、多选题9.若函数，则下列说法正确的是（）A．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于点对称D．函数在上为增函数10.已知正方体的棱长为为空间中任一点，则下列结论中正确的是（）A．若为线段上任一点，则与所成角的余弦值范围为B．若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为C．若在正方形内部，且，则点轨迹的长度为D．若三棱锥的体积为恒成立，点轨迹的为圆的一部分11.已知，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．12.已知函数的部分图象如图所示，则（）A．函数的最小正周期为πB．点是曲线的对称中心C．函数在区间内单调递增D．函数在区间内有两个最值点三、填空题13.若，则___________.14.已知双曲线的焦距为4，焦点到C的一条渐近线的距离为1，则C的渐近线方程为______15.已知，其中e是自然对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________．四、解答题16.公比为的等比数列的前项和.(1)求与的值；(2)若，记数列的前项和为，求.17.若抛物线的焦点为，是坐标原点，为抛物线上的一点，向量与轴正方向的夹角为60°，且的面积为.（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，求当取得最大值时，直线的方程.18.已知函数.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)当，时，证明：.19.如图，在四棱锥中，，且.（1）证明：平面平面；（2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．20.如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，，是棱的中点．(1)证明：平面；(2)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值．21.为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.单位：只指标值抗体合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.参考公式：(其中为样本容量)参考数据：0.500.400.250.150.1000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024