江南中学初中数学竞赛题2012.4班级___________姓名________________成绩____________一、选择题(每小题7分，共42分)1.设，且x、y、z为有理数.则xyz=().(A)3／4(B)5／6(C)7／12(D)13／182.某次数学测验共有20道题.评分标准规定:每答对一题得5分，不答得0分，答错得-2分.已知这次测验中小强与小刚的累计得分相等，分数是质数.则小强与小刚答题的情况是().(A)两人答对的题数一样多(B)两人答对的题数相差2(C)两人答对的题数相差4(D)以上三种情况都有可能3.能判定四边形ABCD是菱形的条件是().(A)对角线AC平分对角线BD，且AC⊥BD(B)对角线AC平分对角线BD，且∠A=∠C(C)对角线AC平分对角线BD，且平分∠A、∠C(D)对角线AC平分∠A、∠C，且∠A=∠C4.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与直线y=k(x-1)-.无论k取任何实数,此抛物线与直线都只有一个公共点.那么,抛物线的解析式是().(A)y=x2(B)y=x2-2x(C)y=x2-2x+1(D)y=2x2-4x+25.如图，在△ABC中，∠B为直角，∠A的平分线为AD，边BC上的中线为E，且点D、E顺次分BC成三段的比为1∶2∶3.则sin∠BAC=().(A)12/13(B)4/9(C)2/5(D)6.已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=2kx+3-4k与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A、B，P是线段AB上一点，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N.则矩形OMPN面积的最大值至少为().(A)3(B)4(C)6(D)8二、填空题(每小题7分，共28分)7.正方形ABCD的边长为5，E为边BC上一点，使得BE=3，P是对角线BD上的一点，使得PE+PC的值最小.则PB=.8..一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶5000km后报废;若安装在后轮，则行驶3000km后报废.如果行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一对新轮胎同时报废，那么，最多可行驶km.9.已知方程x2+x-1=0的两个根为α、β.则的值为.10.如图是一个挂在墙壁上时钟的示意图.O是其秒针的转动中心，M是秒针的另一端，OM=10cm，l是过点O的铅直直线.现有一只蚂蚁P在秒针OM上爬行，蚂蚁P到点O的距离与M到l的距离始终相等.1分钟的时间内，蚂蚁P被秒针OM携带的过程中移动的路程(非蚂蚁在秒针上爬行的路程)是cm.三．解答题11.(18分)某公司用480万元购得某种产品的生产技术后，再次投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工.已知生产这种产品每件还需成本费40元，经过市场调研发现:该产品的销售单价定在100元到00元之间较为合理.当销售单价定为100元时，年销售量为20万件;当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件;当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件.设销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，年获利为w(万元).(1)直接写出y与x之间的函数关系式.(2)求第一年的年获利w与x之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是赢利还是亏损?若赢利，最大利润是多少?若亏损，最少亏损是多少?(3)该公司希望到第二年底，两年的总赢利不低于1842万元，请你确定此时销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元?12.(16分)已知二次函数y=x2+2mx-n2.(1)若此二次函数的图像经过点(1，1)，且记m，n+4两数中较大者为P，试求P的最小值;(2)若m、n变化时，这些函数的图像是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，则过这三个交点作圆，证明:这些圆都经过同一定点，并求出该定点的坐标.13.(16分)实数x、y、z、w满足x≥y≥z≥w≥0，且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w的最大值和最小值.参考答案1.A.两边平方得3+++=x+y+z+2+2+2.根据有理数x、y、z的对称性,可考虑方程组x+y+z=3,2=,2=,2=.解得x=1,y=1／2,z=3／2.此时,xyz=3/4.2.D.根据题意，依次枚举答对20道题、19道题、……的各种可能发现:(1)小强与小刚可能都答对17题、答错1题、未答其余2题同得83分;(2)小刚与小强可能同得53分，不过一人答对13题、答错6题、1题未答，另一人答对11题、答错1题、其余各题