洛阳师范学院本科毕业论文PAGE\*MERGEFORMAT21提供完整版的毕业设计LUOYANGNORMALUNIVERSITY2012届本科毕业论文正定矩阵的性质及推广院（系）名称数学科学学院专业名称数学与应用数学学生姓名学号080414076指导教师完成时间2012.5正定矩阵的性质及推广数学科学学院数学与应用数学专业学号：080414076指导教师：摘要：正定矩阵是一类比较重要且应用广泛的矩阵，作为一种特殊的矩阵，当然有许多与其它矩阵不同的性质，本文首先给出了正定矩阵的若干性质.其次，给出了正定矩阵在证明不等式、求函数的极值、多项式因式分解等方面的具体应用.最后对正定矩阵作了进一步的推广，得到了广义正定矩阵的一些性质，并给出了相应的证明.关键词：正定矩阵；广义正定矩阵；正对角矩阵；实对称矩阵关于正定矩阵的定义本科阶段学习的正定矩阵局限于实对称矩阵，它的常规定义为定义阶实对称矩阵称为正定的，如果对,都有.这种正定矩阵的全体记作.年，首先提出了较广义的正定矩阵的定义，即定义设，如果对，都有,则称为正定矩阵,这种正定矩阵的全体记作.年，佟文廷把这种矩阵推广为定义设，如果对,都有正对角矩阵=，使得，则称为广义的正定矩阵，记为，若与无关，则记为.年，夏长富对这种正定矩阵作进一步推广如下定义设，如果对,都存在,使得,称为广义正定矩阵，这种广义正定矩阵的集合记为，若与无关，则把这样的广义正定矩阵的集合记作.正定矩阵的判定定理定理设是阶实对称矩阵，则下列命题等价；对，都有；的正惯性指数为，负惯性指数为0；的各阶顺序主子式都大于0；存在阶可逆矩阵，使；存在阶可逆矩阵，使=；的各阶主子式都大于0；存在正定矩阵，使；所有与合同的矩阵是正定矩阵；的特征值都大于0；半正定且；设，则和是正定矩阵.存在对角元素全大于零的上三角矩阵，使.证明等价于因为是实对称矩阵，所以可对角化，即存在正交矩阵，使，其中是的特征值，，所以令=,则是正定矩阵且=.反之，因为是正定矩阵，所以是正定矩阵，即是正定矩阵.等价于设是与合同的矩阵，正定，下证正定，对，作非退化线性替换，则，因为是正定矩阵，所以，即，所以是正定矩阵.反之，令是正定矩阵，则，因为是正定矩阵，与合同，由上面的证明可知，是正定矩阵.等价于是正定矩阵等价于是正定矩阵，,，等价于和是正定矩阵.要证等价于，需先证明一个引理.引理设为一个级实矩阵，且，则可以分解成，其中是正交矩阵，是一上三角矩阵.证明设，其中是的列向量，因为，所以线性无关，可作为维线性空间的一组基，将其化为标准正交基，令，，，则=，将，，,标准化，令，，，则，是一组标准正交基，令，，则是正交矩阵，是一上三角矩阵，且对角元素大于零.下面证明等价于是正定矩阵等价于存在可逆矩阵，使，是上三角矩阵且对角元素大于0，同样的方法可证明下三角矩阵的情况.其余等价命题参考文献.正定矩阵的性质性质若是正定矩阵，则、、、也是正定矩阵.证明因为是正定矩阵，所以存在阶可逆矩阵，使，则所以是正定矩阵.另外，的特征值都大于，所以都大于，即的特征值都大于，所以也是正定矩阵.对于任意的，，所以是正定矩阵.因为=，所以是正定矩阵.性质设，是阶正定实对称矩阵，且满足,则也是正定实对称矩阵.证明因为，所以是实对称矩阵，设是的一个特征值，是对应于的特征向量，则,，，因为,是正定矩阵，所以，，所以，即的特征值都大于，所以也是正定实对称矩阵.由性质的证明过程可知，正定矩阵乘积的特征值大于.性质若、都是正定矩阵，则是正定矩阵.证明显然是实对称矩阵，对于任意的，有，所以是正定矩阵.推论若、都是正定矩阵，则是正定矩阵.性质若、都是正定矩阵，则.证明因为是正定矩阵，所以存在可逆矩阵,使得，显然是对称矩阵，则可对角化，所以存在正交矩阵,使=因为是正定矩阵，所以，令，则==分别对上式两边求行列式得，，，，所以，因为，所以.此性质说明了对任意一个正定矩阵和一个实对称矩阵(不一定是正定的),存在可逆矩阵，使和都为对角矩阵.性质为阶正定矩阵，则的元素的绝对值最大者，一定在主对角元上.证明因为正定，从而的一切二阶主子式都大于，当时.移项后，开方即得，，设的主对角元上最大元素为，再由上式，得，=，此即证.即的元素的绝对值最大者，一定在主对角元上.性质为阶正定矩阵，则，其中为的主对角元素.证明设，其中为的-1阶顺序主子式，因为正定，所以正定，存在，于是=，两边取行列式得，=，因为正定，所以正定，