第二章自动控制系统的数学模型2011-02-24控制系统的数学模型1本章的主要内容控制系统的微分方程-建立和求解控制系统的传递函数控制系统的结构图-等效变换控制系统的信号流图-梅逊公式脉冲响应函数各种数学模型的相互转换2011-02-24控制系统的数学模型2概述概述概述[数学模型]：描述控制系统变量（物理量）之间动态关系的数学表达式。常用数学模型：微分方程、传递函数、结构图、信号流图、频率特性、以及状态空间描述等。对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行分析。建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第一步，也是最重要的一步。控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线性系统，定常系统和时变系统。2011-02-24控制系统的数学模型3概述概述[线性系统]：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠加原理：两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等于两个作用函数单独作用的响应之和。线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。[线性定常系统]：可以用线性定常（常系数）微分方程描述的系统称为线性定常系统。[线性时变系统]如果描述系统的微分方程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的质量随着燃料的消耗而变化）。2011-02-24控制系统的数学模型4概述概述[非线性系统]：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。下面是非线性系统的一些例子：d2xdx+()2+x=Asinωt,dt2dtd2xdx+(x2−1)+x=0,dt2dtd2xdx++x+x3=0dt2dt古典控制理论中（我们所正在学习的），采用单输入单输出描述方法，主要是针对线性定常系统。对于非线性系统和时变系统，解决问题的能力是极其有限的。2011-02-24控制系统的数学模型5第一节控制系统的微分方程2011-02-24控制系统的数学模型6控制系统的微分方程控制系统的微分方程微分方程的编写依据微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理(化学)定理来进行。例如：电路中的欧姆定理；基尔霍夫定理(电流定理、电压定理)；力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理；气体平衡方程等。2011-02-24控制系统的数学模型7线性系统微分方程的编写步骤线性系统微分方程的编写步骤1.线性系统微分方程的编写步骤：⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。2.线性系统微分方程的编写实例：2011-02-24控制系统的数学模型8控制系统的微分方程控制系统的微分方程[例2-1]：写出RLC串联电路的微分方程。[解]：据基尔霍夫定理：LRuiiCuodi1L+Ri+idt=u①dtC∫iui输入uo输出1u=idt②oC∫du由②：i=Co，代入①得：dtd2uduLCo+RCo+u=udt2dtoi这是一个线性定常二阶微分方程。d2ydy线性定常二阶微分方程：a+a+ay=bx0dt21dt202011-02-24控制系统的数学模型9控制系统的微分方程控制系统的微分方程[例2-2]求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。[解]：图1、图2分别为系统FkxFk原理结构图和质量块受力分mm析图。fx图中，m为质量，f为粘性阻fxmx&&&尼系数，k为弹性系数。图1图2根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：m&x&+fx&+kx=Fd2ydy这也是一个两阶定常微分方程。a+a+ay=bx0dt21dt20x为输出量，F为输入量。在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：kg,N.s/m,N/m。2011-02-24控制系统的数学模型10控制系统的微分方程控制系统的微分方程[例2-3]电枢控制式直流电动机输入是电枢电压和等效到电机转RLuaaaifM轴上的负载转矩Mc，输出是转速ωicuaeMJdiaω电枢回路方程为L+Ri+e=uadtaaa其中ea为反电势：ea=K1ψω此时激磁电流为常