一、导数的几何意义【例1】函数在处得切线方程为，则，。【答案】。【例2】（1）函数在点处的切线方程是。（2）过点的函数的切线方程是。（3）过点的函数的切线方程是。【点评】求函数的切线问题，一定要关注所给的点是不是切点，关注字眼“在”和“过”。“在”曲线上一点，该点必是切点，“过”曲线外一点，该点必不是切点，“过”曲线上一点，该点未必是切点。【答案】（1）（2）因为不在函数上，设函数的切点为，由得切线斜率。所以切线方程为，又切线过，代入得，所以，，，切线方程为。（3）和。二、利用导数的正负性研究函数的单调性（一）不含参数型【例3】求下列函数的单调区间。（1）（2）（3）（4）（5）解：（1），令得或，令得或。所以函数在上递增，在上递减，在上递减，在上递增。（2）。【略去解不等式过程】函数在上递增，在上递减，在上递增。（3）【略去解不等式过程】。函数在上递减，在上递增。（4），令，得，令，得。所以在上递减，在递增。（5），令得，令得。所以在上递减，在上递增。【点评】求单调区间时，题目当中若无参数讨论，一定要把导数求对，并且把定义域标注在后面。尤其碰到这个函数的时候。要会解简单的指对不等式。（二）含有字母讨论型：主要有以下四种题型【例4】求下列函数的单调区间（1）（2）（3）这里要注意，，对导数的正负性没有影响。而的二次项有参数，与是要讨论的，不能急于给出的两根和。（4）解：（1）①当时，，当时，当时，。②当时，令得或；令得。③当时，令得；令得或。综上知，当时，函数在上递增，在上递减；当时，函数在上递增，在上递减，在上递增；当时，函数在上递减，在上递增，在上递减。【点评】导数中，若项有系数时，要先讨论的情况。还要注意与的开口方向问题。（2）。有两根。①当时，恒成立。②当时，令得或；令得。③当时，令得或；令得。综上知，当时，函数在上递增；当时，函数在上递增，在上递减，在上递增；当时，函数在上递增，在上递减，在上递增。【点评】当导数为二次函数时，且明确了开口方向后，若有两根，只需比较两根大小即可，不要忽略了两根相等的情况。（3），。①当时，即时，恒成立。②当时，即时，有两根。令得或；令得。综上知，当时，函数在上递增；当时，函数在上递增，在递减，在上递增。【点评】若导数为二次函数，同时因式分解不能实现时，这时看看导数的判别式，针对来分类讨论，也就是分析有根的情况。为了说的清楚，把这种情况单独来说比较方便。（4）①时，当时，，当时；②时，，当时，，当时；③时，当时，，当时，，当时，；④时，在上恒成立；⑤时，当时，，当时，，当时，。综上知，当时，函数在上递减，在上递增；当时，函数在上递增，在上递减，在上递增；当时，函数在上递增；当时，函数在上递增，在上递减，在上递增。【点评】对于函数的定义域不是全体实数的函数来说，导函数一般有两个根，其中一个为定根，另一个根含有参数。其中，定义域的边界值和定根把整个数轴分成三部分。【如上题的定义域边界值“0”和定根“1”把数轴分成了三部分。】这种情况下，只需把含参数的根从左向右依次在三部分上讨论即可，同时不要遗漏在分界点的情况。分析时，可以画图辅助分析。如下图就是上面分类的五种分析图。三、极值问题（一）何为极值？【例5】下图若为函数的图象，则极大值点为，极小值点为。下图若为的图象，则极大值点为，极小值点为。【点评】极值是指局部最大或局部最小。极值点是能使函数取极值的值。【例6】函数。（1）若有极值，则；（2）若为的一个极值点，并且函数的极小值为，则，。（3）若，且有3个不同的根，则。【分析】（1）有极值，不是说有解就行，而是说的值要有正有负。这需要。【】（2）函数在处取极值，可知，可求出来。但未必是函数的极小值点，还应继续分析函数的单调性，找到在哪里取极小值。【】（3）通过分析函数单调性，再求出极大值和极小值，就可以画出函数的草图，通过分析，只需并且，的图象就会和轴有3个不同的交点。【】【例7】函数有极大值，则。解：。当时，函数在，在，在，所以，解得。当时，函数在，在，在，所以，解得。【点评】研究函数极值问题时，必须要分析导数的正负性，研究函数的单调性。【例8】求函数的极值。解：。令得，列表如下：所以，当时，，当时，，当时，。【点评】求极值的解答题，一定要列表，在表中要体现导数的正负性和单调性。列表的好处是，导数的正负性可以代数试出来。【编者语】所有求单调区间的题目都可以改为求极值问题。如前面的【例3】和【例4】，要注意由【例4】改编来的求极值问题，那可是需要讨论的。四、闭区间上函数