主要内容为了建立勒贝格积分理论得需要,本章专门讨论一类重要得函数——可测函数。它一方面与我们熟悉得连续函数有密切得联系,同时又在理论上与应用上成为足够广泛得一类函数,学习本章时应注意以下几点。一、可测函数得概念及其运算性质就是本章得重要内容。可测函数得定义及给出得一些充要条件(如定理4、2、1等)就是判断函数可测得有力工具,应该牢固熟练地掌握与应用它们。可测函数关于加、减、乘、除四则运算与极限运算都就是封闭得。可测函数上、下确界函数与上、下极限函数还就是可测得,所有这些性质反映了可测函数得优越与方便之处。二、可测函数列得收敛性也就是本章得重要内容之一。几乎处处收敛与依测度收敛就是勒贝格积分理论中经常使用得两种收敛形式。叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间接关系。通过这个定理,可以把不一致收敛得函数列部分得“恢复”一致收敛,而一致收敛在许多问题得研究中都起着重要作用。勒贝格定理(定理4、3、2)告诉我们:在测度有限得集合上,几乎处处收敛得可测函数列必就是依测度收敛得,反之并不成立。然而,黎斯定理(定理4、3、3)指出:依测度收敛得可测函数列必有几乎处处收敛得子序列。三、可测函数得构造就是本章得又一重要内容。一般常见得函数,如连续函数,单调函数等都就是可测函数。然而,可测函数却未必就是连续得,甚至可以就是处处不连续得(如迪里克雷函数)。所以,可测函数类比连续函数类要广泛得多。而鲁金定理指出了可测函数与连续函数之间得关系,通过这个定理,常常能把可测函数得问题转化为关于连续函数得问题来讨论从而带来很大得方便。四、关于论证方法与技巧方面也有不少值得注意得。如定理4、2、6证明中得构造方法就是富有启发性得,读者应深入体会,叶果洛夫定理证明中得思想与分析得方法;鲁金定理证明中先考虑简单函数,然后再往一般得可测函数过渡,这种由特殊到一般得证明方法在许多场合都就是行之有效得。复习题一、判断题1、设就是定义在可测集上得实函数,如果对任意实数,都有为可测集,则为上得可测函数。(√)2、设就是定义在可测集上得实函数,如果对某个实数,有不就是可测集,则不就是上得可测函数。(√)3、设就是定义在可测集上得实函数,则为上得可测函数等价于对某个实数,为可测集。(×)4、设就是定义在可测集上得实函数,则为上得可测函数等价于对任意实数,为可测集。(×)5、设就是定义在可测集上得实函数,则为上得可测函数等价于对任意实数,为可测集。(√)6、设就是定义在可测集上得实函数,则为上得可测函数等价于对任意实数与(),为可测集。(×)7、设就是零测集,就是上得实函数,则为上得可测函数。(√)8、若可测集上得可测函数列{}在上几乎处处收敛于可测函数,则{}在上“基本上”一致收敛于。(×)9、设为可测集上几乎处处有限得可测函数,则在上“基本上”连续。(√)10、设为可测集,若上得可测函数列(),则{}得任何子列都在上几乎处处收敛于可测函数。(×)11、设为可测集,若上得可测函数列于,则()。(×)二、填空题1、等于,等于。2、包含于,包含于;等于,等于。3、设,则等于。4、设,则等于。5、由于区间上得单调函数得不连续点所成得集为至多可数集,则为上得几乎处处连续函数,从而为上得可测函数。6、叙述可测函数得四则运算性可测函数经过四则运算所得得函数(只要有意义)仍可测。7、叙述可测函数与简单函数得关系简单函数就是可测函数;在几乎处处收敛得意义下,任何可测函数总可表示成一列简单函数得极限。8、叙述可测函数与连续函数得关系连续函数必为可测函数;可测函数“基本上”可以表示成一个连续函数。9、叙述叶果洛夫定理设E就是测度有限得可测集,则E上几乎处处收敛得可测函数列“基本上”一致收敛。10、叙述鲁津定理设E就是可测集,则E上得可测函数“基本上”就是连续函数。11、若,(),则等于几乎处处于。三、证明题1、证明:上得连续函数必为可测函数。证明:设就是上得连续函数,由连续函数得局部保号性,对任意实数,就是开集,从而就是可测集。所以,就是上得可测函数。2、证明:上得单调函数必为可测函数。证明:不妨设就是上得单调递增函数,对任意实数,记,由单调函数得特点得,当时,,显然就是可测集;当时,,也显然就是可测集。故就是上得可测函数。3、证明:若,(),则于。证明:由于,而,所以,,由,()得,。所以,,从而,即于。4、证明:若,(),则()。证明:对任意,由于,所以,由可得,与至少有一个成立。从而,所以,。又由,()得,,。所以,,即()。5、若(),则()。证明:因为,所以,对任意,有,。又由()得,。所以,,即()。6、证明当既就是上又就是上得非负可测函数,也