PAGE\*MERGEFORMAT25根式及其运算知识定位根式是初中数学的重要内容之一，也是近年各类初中数学竞赛中常常涉及到的知识点.解此类有关根式计算题的关键在于将无理式进行有理化.但是在很多竞赛题中我们遇到的计算式子却非常复杂和灵活，其中对根式的计算要求技巧性较强，因而计算的难度较大.在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．知识梳理二次根式的概念：式子(≥0)叫二次根式。二次根式的性质：（1）；（2）二次根式的运算法则：（1）()；（2）()；（3）()；（4）若，则。设是有理数,且不是完全平方数，则当且仅当时，。形如，的这两个根式互称为共轭根式。当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例题精讲◆专题一：共轭因式法【题目】设，，则代数式的值是(用m表示).【答案】【解析】观察此题中与恰是共轭因式，因此想到将两式相乘得：即,所以.点评：我们把形如、的两个根式互称为共轭因式,共轭因式相乘就恰好将无理式化为有理式，从而此题轻松解决.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2◆专题二：有理化法【题目】已知实数x、y满足，则的值为()【选项】(A)－2008(B)2008(C)－1(D)1【答案】D【解析】由已知可得：然后将等式左边分子有理化得：∴①同理可得：②由①、②得：x=y∴变形得：将等式的左边分子有理化得：∴∴,即∴原式=.故选D.点评：有理化法是解二次根式计算题的常用方法，就其形式来说可分为分母有理化和分子有理化两类.具体方法是在分式的分母(或分子)同时乘以原二次根式的有理化因式，从而达到化无理式为有理式的目的.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2◆专题三：因式分解法常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式【题目】计算，得.【答案】【解析】此题分子、分母均含根式，如果按照通常的做法是先分母有理化，这样计算较繁.若观察到分母可进行因式分解，先将分母因式分解后，再化简.原式点评：从此题我们可得到这样的启发：当分子分母均含有根式时，可用因式分解法先将式子化简，再进行计算，这样能起到化繁为简的作用.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2【题目】化简：，得到.【答案】1【解析】解:原式.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【题目】化简：,最后得_________【答案】【解析】原式=【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题四：换元法【题目】已知8a1,则的值是()【选项】(A)1(B)2(C)(D)不能确定【答案】A【解析】解析：设,则,原式=1选A.点评：此题若用常规方法根本无法入手进行解答，此处换元法的运用妙在能达到化无理式为有理式的目的，从而使问题迎刃而解.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2◆专题五：裂项法【题目】对于正整数n,有，若某个正整数k满足,则k=______.【答案】8【解析】解析：由公式，因此有点评：裂项法在很多有关分式和分数的计算题中经常用到，我们仔细观察会发现能应用此方法进行计算的式子都有着某种特殊的规律.常用的裂项形式主要有以下几种：(1).如：(2).如：(3).如本题中.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】【答案】【解析】考虑一般情形原式【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题六：条件转化法【题目】已知x＝2＋1，则分式的值等于__________．【答案】2【解析】由x＝2＋1得：两边平方得：,即所以原式=2点评：此题先通过乘方的方法将已知条件中的无理式x＝2＋1，转化为有理式.再代入所求代数式中，通过逐步降次，从而求得代数式的值，因此这种方法称为条件转化法.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】设,则.【答案】－2【解析】解:,,因此，本题正确答案是-2.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题七：配方及平方法【题目】当时，化简代数式，得.【答案】【解析】法一:解析：应用配方法可得：同理可