1.如图，直线y??x?3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y?ax2?bx?c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x?2．（1）求A点的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连结AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．[解]?直线y??x?3与x轴相交于点B，?当y?0时，x?3，yCx?20)?点B的坐标为(3，．又?抛物线过x轴上的A，B两点，，且对称轴为x?2，根据抛物线的对称性，?点A的坐标为(10)．C3)（2）?y??x?3过点C，易知C(0，，?c?3．yx?2OABP，，，又?抛物线y?ax2?bx?c过点A(10)B(30)，，?a?b?3?0，?a?1解得??y?x2?4x?3．???9a?3b?3?0．?b??4．?（3）连结PB，由y?x2?4x?3?(x?2)2?1，得P(2，1)，OABPx设抛物线的对称轴交x轴于点M，在Rt△PBM中，PM?MB?1，0)3)?∠PBM?45?，PB?2．由点B(3，，C(0，易得OB?OC?3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC?45，由勾股定理，得BC?32．?假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．①当BQPB??，∠PBQ?∠ABC?45时，△PBQ∽△ABC．BCAB即BQ20)，?BQ?3，又?BO?3，?点Q与点O重合，?Q1的坐标是(0，．?232QBPB??，∠QBP?∠ABC?45时，△QBP∽△ABC．ABBC②当即227QB2?，?QB?．?OB?3，OQ?OB?QB?3??，?333232?7??Q2的坐标是?，?．0?3??∠PBx?180??45??135?，∠BAC?135?，∠PBx?∠BAC．??点Q不可能在B点右侧的x轴上综上所述，在x轴上存在两点Q1(0，，Q2?，?，能使得以点P，B，Q为顶点的三角0)0形与△ABC相似。?7?3??2.（河南卷）二次函数y?12x的图象如图所示，过y轴上一点M?0，?的直线与抛物线28交于A，B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D．（1）当点A的横坐标为?2时，求点B的坐标；（2）在（1）的情况下，分别过点A，B作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，在EF上是否存在点P，使∠APB为直角．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点A在抛物线上运动时（点A与点O不重合），求AC?BD的值．[解]（1）根据题意，设点B的坐标为?x，x?，其中x?0．?点A的横坐标为?2，2??18??31???A??2，?．?AC⊥y轴，BD⊥y轴，M?0，?，?AC∥BD，MC?，222??12x?21BDMDx8MD?x2?2．?Rt△BDM∽Rt△ACM．??．即?．38ACMC22解得x1??2（舍去）x2?8．?B?88?．，，（2）存在．连结AP，BP．由（1）AE?，1，BF?8，EF?10．设EP?a，则PF?10?a．2?AE⊥x轴，BF⊥x轴，∠APB?90?，?△AEP∽△PFB．1AEEPa??．?2?．解得a?5?21．经检验a?5?21均为原方程的解．PFBF10?a8，，?点P的坐标为3?210或3?210．（3）根据题意，设A?m，m?，B?n，n?，不妨设m?0，n?0．22????????18??18??BDMD?，ACMC121n?22?n2nn8．则或?8??m2?1m2?m1m2?288由（1）知化简，得?mn?16??m?n??0．?m?n≠0，?mn??16．?AC?BD?16．3.(湖北湛江课改卷）已知抛物线y?ax?bx?2与x轴相交于点A(x，，10)2B(x2，(x1?x2)，且x1，x2是方程x2?2x?3?0的两个实数根，点C为抛物线与y轴0)的交点．（1）求a，b的值（2）分别求出直线AC和BC的解析式；（3）若动直线y?m(0?m?2)与线段AC，BC分别相交于D，E两点，则在x轴上是否存在点P，使得△DEP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；[解]（1）由x?2x?3?0，得x1??1x2?3．，2y321?2?11234x?A(?10)B(3，，把A，B两点的坐标分别代入y?ax2?bx?2联立求解，得，，0)24a??，b??．33（2）由（1）可得y??224x?x?2，?当x?0时，y?2，