数学建模讲稿--灰色预测模型GM（1,1）华北电力大学科技学院数学教研室张文彬灰色预测模型GM(1,1)§1预备知识灰色预测是就灰色系统所做的预测。所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。平面上有数据序列{(x1,y1),(x2,y2),L,(xn,yn)}，大致分布在一条直线上。n2设回归直线为：y=ax+b，要使所有点到直线的距离之和最小（最小二乘），即使误差平方和J=∑(yiaxib)最小。J是关于a,bi=1y的二元函数。由nJ=∑2(yiaixib)(xi)=0ai=1nJ=2(yaxb)(1)=0iiib∑i=1n2∑xiyiaxibxi=0i=1n(yab)=0i∑ii=1(xi,yi)(x,y)jj()xixn∑xiyi(∑xi)(∑yi)a=2n∑xi2(∑xi)(1)(∑yi)∑xi2(∑xi)∑xiyi2b=n∑xi2(∑xi)以上是我们熟悉的最小二乘计算过程。下面提一种观点，上述算法，本质上是用实际观测数据xi、yi去表示a与b，使得误差平方和J取最小值，即从近似方程则得使J取极小的必要条件为：n2a∑xi+b∑xi=∑xiyii=1ax+nb=∑yi∑i（*）()y1x1by2xb≈a2+MMMyxbnn中形式上解出a与b。把上式写成矩阵方程。2–1数学建模讲稿--灰色预测模型GM（1,1）华北电力大学科技学院数学教研室张文彬令y1x1y2xY=，∴Y=2MMxynnx1xB=2Mxn11M1a，则Y=Bb11M1ab令左乘BT得aBTY=BTBbT注意到BB是二阶方阵，且其行列式不为零，故其逆阵(BTB)-1存在，所以上式左乘1(BB)T得a1=BTBBTY（2）b可以具体验算按最小二乘法求得的结果（1）与（2）式完全相同，下面把两种算法统一一下：由最小二乘得结果：n2a∑xi+b∑xi=∑xiyi方程（*）i=1ax+nb=∑yi∑i方程组改写为：[]∑x∑xix1x令：B=2Mxn（*）化为所以2i∑xax1=nb1ix21y1Lxny2L1Myn11M1y1ay2，Y=M，a=byn(BB)a=BYTT以后，只要数据列{(xj,yj)}a=BTBBTY(j=1,2,L,n)大致成直线，既有近似表达式yi=axi+bi=1,2,L,n()12–2数学建模讲稿--灰色预测模型GM（1,1）华北电力大学科技学院数学教研室张文彬y1x1y2x当令：Y=，B=2MMxynn则有11M1a，a=bY=Baa=BTBBTy（2）（2）式就是最小二乘结果，即按最小二乘法求出的回归直线y=ax+b的回归系数a与b。()1推广：推广：多元线性回归设有m个变量x1,x2,L,xm，每个自变量有n个值，因变量y有n个值1y1=a+b1x11+b2x21+L+bmxm12y2=a+b1x12+b2x22+L+bmxm2MLnyn=a+b1x1n+b2x2n+L+bmxmn如n个人，每人有m个指标。x1（体重）女生：人：1234公斤（1）x2（胸围）厘米x3（呼吸差）厘米yk（肺活量）毫升1600260021002650240022002750160027502500x11=35x12=40x13=40x21=69x22=74x23=64x24=74x25=72x26=68x27=78x28=66x29=70x20=65LLOLx31=0.7x32=2.5x33=2.0x34=3x35=101x36=105x37=403x38=2x39=302x30=3x14=42x15=375x16=456x17=437x18=378x19=449x10=4210方程组（1）是n个方程m个数据Y=11M1x11x12Mx1nx12x22Mx2naxm1b1xm