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一、预备知识灰色预测是就灰色系统所做的预测。其具体含义是:如果某一系统的全部信息已知为白色系统,全部信息未知为黑箱系统,部分信息未知,那么这一系统就是灰箱系统。一般来说,社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。如物价系统,导致物价上涨的因素很多,但已知的却不多,因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测,就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的,但毕竟是有序的、有界的,因此这一数据集合具有潜在的规律,灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测设平面上有数据序列设回归直线为要使所有点到直线的距离之和最小,即使误差平方和最小,J是关于a,b的二元函数。由解得以上是我们熟悉的最小二乘计算过程。下面提一种观点,上述算法,本质上是有实际观测数据(已知xyiab)、i去表示未知数据与,使得误差平方和最小,即从近似方程。?y1??y2????y?n??x1????x2??a??????x??n??b??????b???????????b????中形式上解出a与b。?y1??y2令Y?????y?n???????,?x1?x2?B?????xn1??1????1?把上式写成矩阵方程:?a??a?Y?B??两边同乘以BT,TT??BY?BB??b?????b??a?T-1T??(得到,??BB)BY??b?可以具体验算按最小二乘法求得的结果与上述方法完全相同。对于多元线性回归,有同样的矩阵描述设?1??1Y?????1?x11x12?x1n?????axm1????b1xm2????b2????xmn????bm????????记为?a?Y?X??????b??a?仍有????(X???b?TX)?1XYT二、前言20世纪80年代初,华中理工大学邓聚龙教授提出了灰色系统理论,之后在控制、预测、决策等领域有着广泛的应用,但就其精华而言,还是GM(1,1)模型。该模型使用的限制条件是:原始数据单调,预测背景呈稳定发展趋势;其优势是:适用于原始观测数据较少的预测问题。例如化工设备的腐蚀量,随着使用时间的推移腐蚀量不断增加,呈现稳定的发展趋势,并且腐蚀量的测量通常比较困难(如停产才能测量),所以实际观测数据较少。这类问题很适合GM(1,1)模型预测。GM三、(1,1)预备知识考虑一阶线性常微分方程dxdt?ax?u其中a和u为给定的常数,其解为x?(x(0)?ua)e?at?ua上面一阶线性常微分方程的解是指数型曲线,如下图所示:GM四、(1,1)模型G表示Grey,M表示Model,前一个参数“1”GM(1,1)表示一阶,后一个“1”表示变量的个数,是一个一阶、一个变量的微分方程模型。给定等时间间隔的数据列,且设数据列单调:{k,x(k)}?(1,x1),(2,x2),......(n,xn)k表示时刻,x(k)?xk表示t?k时刻某变量的观测值,不防设xk?xk?1,k?1,2,...n?1将数据列记成:x(0)?{x1,x2,......xn}000表示原始观测数据序列。例如x(0)?{2.874,3.278,3.337,3.390,3.697}是按相同时间间隔观测的原始数据序列。对原始数据作一次累加生成,即令:x(1)(k)??i?1kx(0)(i)如上例给出的原始数据,一次累加生成数序列:(1)?{2.874,6.152,9.489,12.879,16.558}x给定的原始数据序列已经是单增序列,经一次累加生成后的累加数序列具有更强烈的单调性。我们知道指数序列是单调的,但是,单调序列却不一定是指数型的,不过强烈的单调序列可以近似看做是指数的,即可以用指数型曲线进行拟合。如果用指数型曲线来拟合一次累加生成序列,那么,这条指数曲线一定是某个一阶线性常微分方程dx(1)?ax(1)?bdt的满足某个初始条件的一条积分曲线,即其方程如下(1)b?atb(1)x?(x(1)?)e?aa又x则x(1)(1)?x?(x(1)(1)(0)ba)e?at(1)(0)??ba其中a和b是待确定的参数,该微分方程的导数dx(1)?limx(1)(k??t)?x?t(1)(k)dt?t??0?t为时间间隔,将时间间隔看做是单位时间间隔,并且认为时间被充分细化(秒,毫秒,微秒,……,