向量的内积与正交矩阵（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）第三章向量的内积与正交矩阵本章将介绍n维向量的内积，向量的长度，向量的夹角，标准正交组，正交矩阵等概念及其基本性质。n维向量的内积、长度、夹角等概念可以看成是空间解析几何中向量的数量积、长度、夹角的推广，这些在自然科学、社会科学与统计学中都有直接的应用。向量组的正交规范化是本章的难点。3.1向量的内积向量的内积为理解内积的直观背景，从力学中功的计算开始。如图3.1，力F和位移S都是向量，两者的夹角是θ,用║F║和║S║分别表示力的大小和位移的长度。根据中学的物理知识，力F所做的功为：FθS图3.1θS图3-1(3.1)把上式称为力F与位移S的内积，记作：先把内积（3.1）推广到空间向量。设两个空间向量是OM1=[x1,y1,z1]T,OM2=[x2,y2,z2]T，它们的夹角为θ.定义两向量的内积为：[1，2]=║1║║2║(3.2)其中║1║，║2║分别是向量1，2的长度：（3.3）在空间解析几何中经推导，得到用向量的坐标表达内积的公式[1，2]=x1x2+y1y2+z1z2（3.4）进而得到两向量的夹角公式：COSθ==(3.5)把内积公式（3.4）推广到n维向量，有定义3.1设有n维向量==令[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn=[x,y]称为向量x与y的内积。内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当x与y都是列向量时，有：[x,y]=xTy内积满足下列运算规律（其中x,y,z为n维向量，λ为实数）（1）[x,y]=[y,x]（2）[λx,y]=λ[x,y]（3）[x+y,z]=[x,z]+[y,z]例3.1设α=[1,-1,1]T，β=[2,5,3]T，求[α,β]解[α,β]=1×2-1×5+1×3=0例3.2设α=，β=，A=，求内积；求A。解注意到α和Aβ都是列矩阵，也是列向量，故=T（）=αT===1A=（Tβ）A==0=须指出，在乘式（T）A中，尽管T与之间的运算是矩阵乘法，但（αT）与A之间的运算是数乘矩阵，而不是矩阵乘法，故如下运用“结合律”是错误的：（T）A=T（βA）其实，乘式A没有意义.类似的问题在本书中虽然不多见，但此处提醒的问题有助于读者准确地理解矩阵乘法的结合律。向量的模把空间向量的长度式（3.3）（相当于点到原点O的距离）推广到n维向量，我们有：定义2.2称数为向量χ=[χ1,χ2,…,χn]T的模（或长度），记为‖χ‖，即===向量的模具有下述性质：（1）非负性：当时,>0；当时，=0（2）齐次性：（3）三角不等式：性质（1），（2）请读者自证，性质（3）将在引入定理3.1后证明。当=1时，称χ为单位向量。例3.3检验向量=T,T是否为单位向量。解=<1=1故不是单位向量，是单位向量。容易验证：当时，是单位向量。这是因为关于内积与模的关系，有如下重要的定理定理3.1对任意n维向量χ和y,恒有∣∣证明考虑变量t的函数f(t)=2=T==22+2+2由于二次函数f(t)0，，故其判别式满足矩阵特征值与特征向量一、考核知识点：乘幂法、逆幂法、雅可比法二、考核要求：1．知道乘幂法，逆幂法的基本思想；会用乘幂法求矩阵的特征值与特征向量。2．知道雅可比法的基本思想；会用雅可比法计算对称矩阵的特征值与特征向量。三、重、难点分析例1已知，用乘幂法求说明：乘幂法是求实方阵A的按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法。逆幂法是求实方阵A的按模最小特征值及其特征向量的一种反迭代方法。注意：初始值不能取零向量。解取，用乘幂法迭代公式，计算如下表0111133329993272727,例2用雅可比法求的全部特征值与特征向量。注意：平面旋转矩阵R的元素的排列顺序和旋转角的确定。解雅可比法是求对称矩阵的全部特征值与特征向量的变换方法。，，，，所以，,,第六章矩阵特征值与特征向量练习班级：姓名：学号：求矩阵与的特征值与特征向量，并回答以下问题：不同矩阵是否可能有相同特征值，若有相同特征值时，其相应特征向量是否也相同？不同的矩阵可能有相同的特征值，有相同的特征值对应的特征向量不一定相同。设ｎ阶矩阵，试证：．设为ｎ阶方阵，且试证，已知四阶矩阵，的特征值为２，３，４，５，为４阶单位矩阵，求的特征值．为ｎ阶矩阵，其特征值为２，４，…，２n，为n阶单位矩阵，则。．已知矩阵，则的特征值为(c).(A)1,0,1(B)1,1,2(C)-1,1,2(D)-1,1,1以上四个备选答案中，有且仅有一个是正确