章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．复数代数形式为z＝a＋bi，a、b∈R，应用复数相等的条件时，必须先将复数化成代数形式．2．复数表示各类数的前提条件是必须是代数形式z＝a＋bi(a、b∈R)．z为纯虚数的条件为a＝0且b≠0，注意虚数与纯虚数的区别．3．不要死记硬背复数运算的法则，复数加减可类比合并同类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化．4．a2≥0是在实数范围内的性质，在复数范围内z2≥0不一定成立，|z|2≠z2.5．复数与平面向量联系时，必须是以原点为始点的向量．6．不全为实数的两个复数不能比较大小．7．复平面的虚轴包括原点．专题一复数的概念熟练掌握复数的代数形式、复数相等及复数表示各类数的条件是熟练解答复数问题的前提．[例1]已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当m取何实数值时，复数z是零、纯虚数、2＋5i?解：(1)由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m（m－1）＝0，,m2＋2m－3＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝0或m＝1，,m＝－3或m＝1，))所以m＝1.即当m＝1时，复数z为零．(2)由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m（m－1）＝0，,m2＋2m－3≠0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝0或m＝1，,m≠－3且m≠1，))所以m＝0，即m＝0时，z为纯虚数．(3)由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m（m－1）＝2，,m2＋2m－3＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2或m＝－1，,m＝－4或m＝2，))所以m＝2，所以当m＝2时，复数z为2＋5i.归纳升华当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x＋yi没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论．[变式训练](1)复数eq\f(1,－2＋i)＋eq\f(1,1－2i)的虚部是()A.eq\f(1,5)iB.eq\f(1,5)C．－eq\f(1,5)iD．－eq\f(1,5)(2)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为()A．1B．2C．1或2D．－1解析：(1)eq\f(1,－2＋i)＋eq\f(1,1－2i)＝eq\f(－2－i,（－2＋i）（－2－i）)＋eq\f(1＋2i,（1－2i）（1＋2i）)＝eq\f(－2－i,5)＋eq\f(1＋2i,5)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)i，故虚部为eq\f(1,5).(2)由纯虚数的定义，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋2＝0，,a－1≠0，))解得a＝2.答案：(1)B(2)B专题二复数的四则运算复数的加减法是实部与实部、虚部与虚部分别相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i2＝－1.[例2](1)设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则eq\f(z,i)＋i·＝()A．－2B．－2iC．2D．2i(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝()A．2＋3iB．2－3iC．3＋2iD．3－2i解析：(1)因为z＝1＋i，所以＝1－i，eq\f(z,i)＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(－i2－i,－i2)＝1－i，所以eq\f(z,i)＋i·＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.(2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋eq\f(5,2－i)＝2i＋eq\f(5（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝2i＋2＋i＝2＋3i.答案：(1)C(2)A归纳升华复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意把z看作一个整体，将其设为代数形式并应用方程思想．当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用．[变式训练]已知复数z＝eq\f(（1－i）2＋3（1＋i）,2－i).(1)求复数z；(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．解：(1)z＝eq\f(－2i＋3＋3i,2－i)＝eq\f(3＋i,2－i)＝eq\f(（3＋i）（2＋i）,5)＝1＋i.(2)把z＝1＋i代入得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，即a＋b＋(2＋a)i＝1－i，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co