写给今天(1月7日)上午在教八102听课的同学：例题.设B为一个n阶对称阵，A是n阶正定矩阵，则AB或BA的正负特征值的个数分别等于B的正负惯性指数.写给今天(1月7日)上午在教八102听课的同学：写给今天(1月7日)上午在教八102听课的同学：集体答疑通知教材改错第6章二次型与二次曲面则原方程化为x2+2(y1)=0.注1：在例16中将两个一次项之和化为一个一次项时，用了一个正交变换，如何看出它是一个旋转变换呢？特别地，假设二次曲面方程为如下形式，不难求出实对称阵A的特征值1,2,3(从而知道A的正负惯性指数),然后对曲面分类.6.当有两个特征值小于零，一个特征值等于零时，曲面为虚椭圆柱面.第六章习题解析P239第3题：即使实矩阵A不是对称矩阵,xTAx也是一个二次型，其对应的二次型矩阵为(A+AT).结论：假设A是n阶实对称阵，则xTAx=0对任意的n维列向量x成立A=0P239第4题：要说明反之结论不成立，只需举例说明，也只有举例才能说清楚。P240第8题(2)：最后要写出可逆线性变换x=Pz.切记x写在左边.P240第12题:方法1:aii=eiAeiT>0,ei=[0,..,0,1,0,…,0]例题.设B为一个n阶对称阵，A是n阶正定矩阵，则AB或BA的正负特征值的个数分别等于B的正负惯性指数.例题(06-07试题).若P240第14题:注意矩阵ATA不是正定阵：xTATAx=||Ax||2≥01100P240第14题:请注意在用定义说明一个矩阵是正定时，需要强调x是非零的向量.因为x=θ时，xTAx=0!P240第20题：注意不必求出正交变换矩阵Q.f=1y12+2y22+…+nyn2注：1.存在既不正定，也不负定的矩阵；2.行列式大于零并不能得到矩阵正定.总复习A与B合同，并不要求它们是实对称阵.A与B相似，自然不要求它们是实对称阵.一个区别之处：A相似于一个对角阵，则对角元一定是它的特征值；实对称阵A合同于一个对角阵，则对角元未必是它的特征值.A与E等价=>A与kE等价=>A与O等价=>“T”类型问题(,为n维列向量)例.对于非零n(n>1)维列向量,计算A=T的特征值和特征向量.那么如何严格说明1和2是A的所有特征值呢？事实上，若令P=(,η1,η2,…,ηn-1),则由定理5.3的证明思路可知P-1AP=diag{1,2,…,2},从而知道A与diag{1,2,…,2}相似,因此1,2是A的全部特征值.3.p206-207:22题，32题，33题化归的思想给定两个同阶的正定矩阵A和B,则一定存在一个可逆阵M使得MTAM=E，MTBM=，是对角阵.例题.证明：给定一个n×n矩阵A,一定存在一个可逆阵P和一个矩阵C，使得A=PC,且C2=C.提醒熟悉矩阵运算：如矩阵A的各行元素之和等于零，能得到什么？如矩阵A的各列元素之和等于零，能得到什么？会算矩阵方程AX=B,XA=B(不管A可逆与否，A是方阵与否)3.此类题一定要掌握例.讨论下列三个平面的相对位置.4.Ax=和Ax=b解之间的联系及线性相关性也是常考的点.