一道几何习题的探索与研究在习题教学中，若能注意引导学生在做完习题后，从横、纵两个方面进行探究，把习题拓展延伸，这样既能沟通知识间的联系，又能巩固双基，既有利于激发学生的兴趣，又可以拓展学生的思维空间，培养学生勇于探究的个性品质.【题目】已知：⊙与⊙外切于A，直线BC分别与⊙、⊙相切于B、C两点，求证：∠BAC=【证明】证法1：如图1，作⊙与⊙的内公BCAP切线AP交BC于P，∵PB、PA分别切⊙于B、A，∴PA=PB，同理可得，PA=PC，如图1∴PA=PB=PC=BC∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=PBCA1234图2证法2：如图2，作⊙与⊙的内公切线AP交BC于P，∵PB、PA分别切⊙于B、A，∴∠1=∠2,同理可得，∠3=∠4在△ABC中，∠1+∠2+∠3+∠4=∴2（∠2+∠3）=∴∠2+∠3=即：∠BAC=BCA图3证法3：如图3，连接、、，则过点A.∵直线BC分别与⊙、⊙相切于B、C，∴⊥BC，⊥BC，∴∥，于是∠+∠=由弦切角定理可知：∠ABC=∠，∠ACB=∠∴∠ABC+∠ACB=在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠BAC=BCA图421T∴∠BAC=证法4：如图4，连接、、，则过点A.作内公切线AT由证法（3）知，∠+∠=又∵AT是两圆的内公切线∴∠1=∠，∠2=∠，∴∠1+∠2=（∠+∠）=即：∠BAC=证法5：如图5BCDEA图5，作两圆的连心线，分别交⊙、⊙于D、E两点由弦切角定理可知：∠CBA=∠D，∠BCA=∠E∵DA、AE分别是⊙、⊙的直径，∴∠DBA=，∠ACE=，∴∠D+∠BAD==∠E+∠CAE∴∠CBA+∠BAD=∠BCA+∠CAE=∴∠CBA+∠BAD+∠BCA+∠CAE=（1）在△ABC中，∠CBA+∠BCA+∠BAC=（2）把（2）代入（1），整理得：∠BAD+∠CAE=∠BAC，又∵∠BAD+∠CAE+∠BAC=∴∠BAC==.【拓展】巧妙的证明，给学生以数学美的感受，学生赞叹不已，教学已进入最佳状态，笔者抓住这一时机，简单总结了五种证法的优劣，一边用多媒体演示，一边说：如果将⊙和⊙向两方拉开，使它们外离，或者相向靠近，使它们相交，刚才的两条直线还垂直吗？一石激起千层浪，教室里几乎沸腾起来了，学生群情激奋，兴趣盎然，经过激烈的争论后之后，同学们饶有兴趣地作图、猜测、思考，很快有了结果：垂直关系依然成立！证明：如图6、图7，连接、、，与两圆相交于A和，由证法（3）知，∥，∴∠+∠=，∵BC是两圆的公切线，∴∠1=∠，∠2=∠，∴∠1+∠2=，BCA12图7∴∠P=，于是，BA⊥CBC12P图6A关于这个命题，同学们给出了很多的证法，这里只记述了这一最奇妙、最精彩的一个证明。（用一个过程同时对两个图进行证明）.紧接着我又提出：若把向两方延长，交两圆于D、E，连接DB、EC,这两条直线之间是否也有这种垂直呢?BCADE图8P于是学生又一次进入积极的思考，随后又开始分各种情况画图、观察、猜测、验证、最后给出了证明：如图8.∵DA、AE分别是⊙、⊙的直径，∴∠DBA=∠PBA=，∠ACE=∠PCA=由探究知，∠BAC=，又∵四边形ABPC的内角和是，∴∠P=即：DB⊥CE.在研究图9、图10时，学生再次发现证明方法乃至证明过程与图8的又可以是完全的相同，学生为在不同的情况下出现相同结论感受到数学的奇妙，更为在不同的图形里证明这相同的结论时，竟能用完全相同的思路和完全一样的证题过程而欣喜若狂。真正体验到数学的奇特和美妙，美妙的感觉来自“意料之外”，但却又在“情理之中”.与此同时，他们对数学的喜欢、迷恋之情悠然而生，对数学的向往、执著和追求的意识，悄然进入学生心田。BACDE图10CBADE图9由此可知，当两圆的位置由外切变为外离或相交时，都可以探究与原命题相类似的新命题.这些新命题的图形和结论的统一美、和谐美得到了充分体现.在倡导探究式学习，培养学生的创新精神和实践能力的同时，可以使学生发现数学美、体验数学美、欣赏数学美、创造数学美，从而提高学生的数学素养.