·试题赏析·(2011年第3期·初中版)49一道证明线段相等的经典几何题100028北京市朝阳区教研中心郭璋100026北京市东方德才学校王明洁程丹题目(2010年无锡市初中毕业升学考试第26题)论AM=MN是否成立，请说明理由;(1)如图1，在正方形ABCD(3)若将(1)中的“正多边形ABCD…Z”，请你做出中，M是BC边(不含端点B，C)上猜想:当EC=时，结论AM=MN仍然成立(直任意一点，P是BC延长线上一接给出答案，不需证明)．点，N是∠DCP平分线上一点，若分析关于本题的第(1)问，给出了提示也指出可∠AMN=90°，求证:AM=MN．图1以选择另外的方法证明，我们研究了第(1)问的证明，发下面给出一种证明思路，你可按这一思路证明，也现该题是一道证明线段相等的经典几何证明题，其题目可以选择另外的方法证明．简洁但解决方法多样．从多角度思考，借助构造全等三证明:在边AB上截取AE=角形、等腰三角形、相似三角形及几何与代数相结合、解MC(下面请你完成余下的证明过析法等多种方法证明了线段相等，一方面建构了知识间程)．的联系，对数学本质问题认识更为清晰，另一方面拓宽(2)若将(1)中的“正方形了解题思路．ABCD”改为“正三角形ABC”(如图2本文给出第(1)问的证明．图2)，N是∠ACP平分线上一点，则当∠AMN=60°，结櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧为1，．S1+S2=S⊙O－S△ABD211，S3+S4=S⊙O－S△ADC2211S1+S2+S3+S4=S⊙O－S△ABD+S⊙O－2122S△ADC11()=S⊙O+S⊙O－S△ABD+S△ADC2122图9图10，，11解析两部分的阴影部分难于逐一求出但结合=S⊙O+S⊙O－S△ABC2122反比例函数的对称性，运用割补的方法就容易多了．=S－S．如图，把右上的分割下来，移到左下的处，与⊙O1△ABC10S1S2因为AB，AC是直径，得就组成了一个扇形，这个扇形的面积是1S3OABOAB224AD⊥BC，BD=CD=6，AD=槡8－6=2槡7．的面积，只要求出的半径，阴影部分的面积就大所以阴影部分的面积⊙O⊙O功告成了．S+S+S+S=S－S1234⊙O1△ABC12221把点P代入y=中，得3a=12，a=2，P(6，2)．连=π·4－×12×27=16π－127，选D．x2槡槡接，作轴于点，得225割补求值法OPPC⊥xCOP=槡6+2=2槡10．S阴12112例5(深圳)如图9，点P(3a，a)是反比例函y==S=×π×(210)=10π．x4⊙O4槡与⊙O在第一象限内的一个交点，图中阴影部分的面积(收稿日期:20110111)(2011年第3期·初中版)·试题赏析·501构造全等三角形所以ME=MF．证法1如图3，在边AB上∠PCN=∠4+∠6=45°=∠3+∠5，截取AE=MC，连接ME．又∠3=∠4，所以∠5=∠6．在正方形ABCD中，∠AMN=又∠AEM=∠NFM=90°，90°，所以Rt△AME≌Rt△NMF，所以∠1+∠AMB=∠2+图3所以AM=MN．∠AMB．证法4如图6，连接AC，设所以∠1=∠2．AC与MN的交点为F，延长AM因为AE=MC，所以BE=BM．与NC的延长线交于E，连接EF．所以∠BEM=∠EMB=45°．因为∠1+∠AEC=∠N+所以∠AEM=135°．∠NEM=90°，，因为∠PCN=45°所以∠1=∠N．图6所以∠AEM=∠MCN=135°．在四边形MECF中，∠ACE+∠EMF=180°，所以△AEM≌△MCN，所以M，E，C，F四点共圆，从而AM=MN．所以∠2=∠MEF=45°，证法2如图4，连接AC，过所以Rt△FME为等腰直角三角形，点M作ME∥AB交AC于点E，则所以MF=ME，从而Rt△AMF≌Rt△NME，ME⊥BC．所以AM=MN．又∵AM⊥MN，证法5如图7，连接AC，过点作交的延∠1+∠EMN=∠2+图4MME⊥BCNC∠EMN，长线于点E．所以∠1=∠2．因为AM⊥MN，由∠3=∠4=45°．所以∠1=∠2=90°．所以EM=MC．所以∠1+∠NMC=∠2+因为∠PCN=45°，∠NMC，图7又，∵∠AEM=∠NCM=135°即∠AMC=∠NME．所以，△AEM≌△NCM又CN平分∠DCP，从而AM=MN．所以∠3=∠4=45°．证法3如图5，连接AC，过点在Rt△EMC中，∠E=45°，M作AC的垂线与AC交于点E，作