4.2一阶逻辑公式及解释定义4.1（字母表）以下是字母表的成员：(1)个体常项:a，b，c，…，ai，bi，ci，…，i≥1(2)个体变项:x，y，z，…，xi，yi，zi，…，i≥1(3)函数符号:f，g，h，…，fi，gi，hi，…，i≥1(4)谓词符号:F，G，H，…,Fi，Gi，Hi，…，i≥1(5)量词符号:，(6)联结词符号:┐，∧，∨，→，(7)括号和逗号:（），定义4.2（项）项的递归定义如下：（1）个体常项和个体变项是项。（2）如果(x1,x2,…,xn)是任意的n元函数，t1,t2,…,tn是任意的n个项，则(t1,t2,…,tn)仍然是项。（3）只有有限次使用(1)，(2)生成的符号串才是项。例：D是个体名称的集合，x,y（∈D）为个体变项，a：张三，b：李四所以x，y，a，b是项假设f(x):x的父亲，F(x,y):x是y的父亲f(a),f(f(a)),F(a,b),F(f(f(a)),b)则f(a):张三的父亲，是项f(f(a)):张三的祖父，是项而F(a,b):张三是李四的父亲，是原子公式F(f(f(a)),b):张三的祖父是李四的父亲，是原子公式定义4.4（谓词公式）谓词公式也称为合式公式，其递归定义如下：（1）原子公式是谓词公式（2）若A谓词公式，则┐A也是谓词公式（3）若A，B是谓词公式，则A∧B，A∨B，A→B，AB也是谓词公式（4）若A是公式，则xA，xA也是谓词公式（5）只有有限次使用（1）-（4）生成的符号串才是谓词公式定义4.5（量词的辖域）在公式xA和xA中，称x是指导变元，A为相应量词的辖域。在x和x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现A中不是约束出现的变项均称为是自由出现的解：（1）x（F（x，y）→G（x，z））x是指导变元量词的辖域为F（x，y）→G（x，z）x是约束出现的，约束出现2次y和z是自由出现的，各出现1次前件：x是指导变元，量词的辖域为F(x)→G(y)，其中x是约束出现的，y是自由出现的后件：y是指导变元，量词的辖域为H(x)∧L(x,y,z)，其中y是约束出现的，x和z是自由出现的。在整个公式中，x约束出现1次，自由出现2次y约束出现1次，自由出现1次z自由出现1次。定义2.6（闭式）设A为任意的公式，若A中无自由出现的个体变项，则称A是封闭的公式，简称闭式。定义2.7（解释）一个解释I有下面4个部分组成：（1）非空个体域D：指定个体词的取值范围（2）D中特定元素的集合：指定个体常项的值（3）D上特定函数的集合：指定函数符号的含义（4）D上特定谓词的集合：指定谓词的含义（1）F(f(x,y),g(x,y))（2）F(f(x,a),y)→F(g(x,y),z)（3）xF(g(x,y),z)（4）xF(g(x,a),x)→F(x,y)（5）xF(g(x,a),x)（6）xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x))（7）xyzF(f(x,y),z)（1）F(f(x,y),g(x,y))公式被解释成：x+y=x*y在解释I下，该公式不是命题（2）F(f(x,a),y)→F(g(x,y),z)公式被解释成：(x+0=y)→(x*y=z)在解释I下，该公式不是命题（3）xF(g(x,y),z)公式被解释成：x(x*y=z)在解释I下，该公式不是命题（4）xF(g(x,a),x)→F(x,y)公式被解释成：x(x*0=x)→(x=y)由于蕴涵式的前件为假，所以在解释I下公式为真命题（5）xF(g(x,a),x)公式被解释成：x(x*0=x)在解释I下公式为假命题（6）xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x))公式被解释成：xy((x+0=y)→(y+0=x))在解释I下公式为真命题（7）xyzF(f(x,y),z)公式被解释成：xyz(x*y=z)，在解释I下公式为真命题（1）F(f(x,y),g(x,y))不是命题（2）F(f(x,a),y)→F(g(x,y),z)不是命题（3）xF(g(x,y),z)不是命题（4）xF(g(x,a),x)→F(x,y)真命题（5）xF(g(x,a),x)假命题（6）xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x))真命题（7）xyzF(f(x,y),z)真命题说明：(1)有的公式在具体的解释中真值确定，即为命题；有的公式在具体的解释中真值不确定，即不是命题。(2)闭式在任意的解释下都变成可命题(定理4.1)，但在不同的解释下，可能有不同的真值。(3)非闭式的公式就