万方数据心丑攀≥以叫生)，即有五a+一一——“垡立型型二些)≤E(0，1)恒有尸(戈)=万南>0．所以函数八菇)妨设口+6+c=l，则原不等式等价于r笔+而b南+南≥3·}万3而=_．3故原不等式为正数，求证：F笔+上c+a+了毛≥_．3+÷≥÷，于是构造函数八石)=÷，石∈(0，1)．因为，(菇)=丌b／(茗)=矿弓，对于茗1一—丁一构造函数搭桥开路运用性质破关夺旗——用Jensen不等式证明一类条件“和为1"的分式不等式1)，qi=÷(i=1，2，3)，且ql+q2+q3=1，有若毛>o，i=I，2,3，且∑曩=1，则四川省川北幼儿师范高等专科学校(628017)赵洪君中学数学研究掌握，应为教学所倡导，但列不等式法(宰)解答，更侧重于技巧，教学应少一点灌输，多一些探究，试想：中告诉了学生利用不等式(枣)法解答，学生也能照猫画虎处理类似的题目，但这种缺乏数学味的教学法林林总总，可以说是眼花缭乱．其分式不等式也是条件“和为1”的一类分式不等式，往往看起来很复较大．但如果通过对其结构的认真观察分析，构造一举数例，以说明Jensen不等式在证明一类条件“和若函数以戈)在区间，存在二阶导数，且对区间，内任意石有，x)>0。则函数以菇)在区间，上是严格凸(下凸)函数；若尸(戈)<0，则函数八菇)在区间譬√≮菇。)(1)。其中菇。E，，qi>0，i=l，2，⋯，n，且9l(1)可推广至一般形式(加权)，q“石1)+g以x2)+⋯+g以髫。)，¨厂(戈)为凹函数，将上述不等式中的“≤”改为不等式(1)、(2)称为Jensen不等式．(1963年莫斯科奥林匹克试题)若口，b，c不等式(1)，取茗l=口，菇2=b。石，=c，D，6，c∈(0。坚±垒±!2014年第6期>g(5)>g(6)>g(7)>(8)；又r=2时，g(2)=g(3)，．·．第(3)项、第4项的系数最大，分别为通过对比知，这种利用函数的思想进行解答体现了一定的思维性，通俗易懂，更有利于学生理解与教师本身对此法就不十分清楚怎么回事，即使教学有什么价值?值得我们深思!不等式种类繁多，可以说是浩如烟海；证明方如此．即便是这样，准确入题，快捷获解，提高解决问题的针对性、有效性应该是我们永远追求的目标．对杂，以至无从下手．显得难度较高，技巧性较强，跨度个凹凸函数，利用Jensen不等式，就能避开甚至突破天堑关隘，简捷、快速达到问题解决的耳的．本文列为1”的分式不等式中的奇特作用．知识回顾凹凸函数的定义(用二阶导数)J上是严格凹(上凸)函数．凹凸函数性质若函数八名)在区间，是凸，则有不等式火口1菇。+q2x2+⋯+g。石。)≤q／．(茗1)+q2厂(茗2)+q2+⋯+q。：1．当菇i∈，，q‘∈尺+(i=1，2，⋯，儿)，Jensen不等式证明条件“和为1”的分式不等式例1证明：所证不等式明显具有轮换对称的特点，不=_竺一为菇∈(0，1)范围内的凸函数，利用Jensen成立．例2+⋯+91+92+⋯+q。q1+譬2+⋯+q。·43·7戈2．7戈3．11．11．2”≥”即司．21一CZ1一菇II一茹J～‘／。万方数据3【竺兰掣1揣b+嬲2b+踹b．+南+南≤3×i哂I——阿≥3×丽鬲丽等铲地—1—≥3×i百忑而9(sinA+sinB+sinC世半竽盟≤八半M而南南2哥m(0’l坩㈤<0'此时函阶、二阶导数分另崂八砧一志／@)=3×志】2=3ב了1+3)2=孚．所以，满足=南(o面)2击1+南1+南≤翌101c)2≥3[竺垃掣型立南+去+南≤而27成立．证明：构造函数厂(石)=雨1⋯继％掣辱业，凯∈(o，圆时／(石)<o，1=1，求证：志+丽1+。。n1---TL_≥-．92蕊1百b≤i3。(了1+i1+÷)．阶、二阶导数分别为几)=鲁等>0／(算)=亓i+瓦-+再了≤而成立’2百1此时函数八筇)=r÷7是(o，厕上的凹函数，由数八戈)=rb在(o，1)上是严格递减函数．所以+÷，髫：=6+÷，聋，=c+÷，口；=÷，i=·，2，3，不等式(1)得矗击+i耘+i是≥3×≤未。因此原不等式等价于可_}矛+可_b炉+Jensen不等式(1)，取gi=·}，i=l，2，3，且g。+q：(n+丢)2+(6+i1)2+(c+÷)2≥_．100且g-+叮：+口，=1，得(口+吉)2+(6+i1)2+(c+]2≥3【了1+÷×=÷，i=1，2，3，且g，+g：+93=1．于是由Jensen未(口+6+c)(÷+寺+÷)．数，且÷+÷+÷：口+6+c，证明：+百五再可+石再了开+q3=1，对任意的tl，t2，t3∈(o，国，有，工，2_而1SIn————百+————I+——‘——：≤_．对任意的tlt,tz’，t，’E(万，1)，有灭￡。’)+以￡：7)+阶导数尸(菇)=76>o，因而以茗)