怎样判断和证明有关充要条件问题判断充要条件常用下面三种方法：1．定义法：通过定义借助于推出方向判断．2．等价法：利用原命题与其逆否命题等价，逆命题与其否命题等价来判断；对于条件或结论是不等关系的命题，一般运用等价法．3．利用集合间的包含关系判断，若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件．例1．（1）下列四组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是（）．11A．甲：a>b；乙：<B．甲：ab<0；乙：||ab<||abab01a02abC．甲：ab；乙：ab2abD．甲：；乙：01b11ab（2）25x2x3<0的一个必要不充分条件是（）．111A．1<x<6B．<x<3C．<x<0D．2<x<222（3）设命题甲：0<x<5；命题乙：|2|x<3．则命题甲是命题乙的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件bcb42（4）设抛物线Py:x2bxc及直线Ly:x1，P的顶点坐标为(,)，则244cb2b“<1”是“P与L有两个公共点”的（）．42A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件xy22（5）若kR，则“k>3”是“方程1表示双曲线”的（）．kk33A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：（1）D．命题A、C不是充分条件；命题B是充要条件．（2）A．利用集合间的包含关系判断．（3）A．利用集合间的包含关系判断．4cb2b（4）A．由<1知顶点与坐标原点在同侧，且开口向上，故P与L有两个公共点．42用心爱心专心1xy22（5）A．“方程1表示双曲线”等价于(3kk)(3)>0，等价于k>3或k<3．kk33222例2．（1）已知a，b为任意平面向量，有下列命题：①||ab||；②ab；③||aab，其中可作为ab的必要不充分条件的命题是（）．A．①②B．②③C．①②③D．①（2）已知a,b,c为非零的平面向量，甲：abac；乙：bc，则（）．A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件解析：（1）C．由ab能推出①②③，反之不行．（2）B．由甲推不出乙，因为数量积运算不满足消去律．1例3．（1）在ABC中，“A>30”是“sinA>”的（）．2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2）如果，是实数，那么“”是tantan的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：（1）B．注意“在ABC中”这个条件，否则是既不充分也不必要条件．（2）D．可举反例．例4．（1）关于x的方程21kxkxk24320的两根同号的充要条件是（）．2A．k1或k≥B．21k32C．2≤k1或<k≤1D．2≤k≤13*（2）已知数列{an}，那么“对任意的nN，点Pnann(,)都在直线y2x1上”是“{}an为等差数列”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：（1）C．判别式大于等于0且两根之积大于0．（2）A．由ann21知“{an}为等差数列”；反之不成立．1例5．（1）已知p：|5x2|>3，：q≥0，试判断p是q的什么条件．xx245用心爱心专心2（2）已知p是r的充分条件，而r是q的必要条件，同时又是s的充分条件，q是s的必要条件，试判断①s是p的什么条件；②p是q的什么条件；③其中有哪几对条件互为充要条件？1解析：（1）p：≤x≤1；q：5≤x≤1，从而可判定p是q的充分不必要条件．5（2）pr，qr，rs，sq，∴prsqr．①由ps知：s是p的必要条件；②由pq知：p是q的充分条件；③其中r与s，r与q，s与q三对互为充要条件．例6．已知a，b，c均为正数，求证：abc3333abc的充要条件是abc．证明：充分性：若abc，显然abc3333abc成立．必要性：若abc3333abc，即abc33330abc，则(abc)[()(ab222bc)(ca)]0