第2课时函数的最大值、最小值知识点函数的最大值与最小值最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有最大值或最小值．()(2)函数的最小值一定比最大值小．()答案：(1)×(2)×2．函数f(x)＝eq\f(1,x)在[1，＋∞)上()A．有最大值无最小值B．有最小值无最大值C．有最大值也有最小值D．无最大值也无最小值解析：函数f(x)＝eq\f(1,x)是反比例函数，当x∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f(x)为减函数，f(1)为f(x)在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A.答案：A3．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为()A．3,5B．－3,5C．1,5D．－5,3解析：因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.答案：B4．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．f(－2)，0B．0,2C．f(－2)，2D．f(2)，2解析：由图象知点(1,2)是最高点，故ymax＝2.点(－2，f(－2))是最低点，故ymin＝f(－2)．答案：C类型一图象法求函数的最值例1如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3.当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2.函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．观察函数图象，最高点坐标(3,3)，最低点(－1.5，－2)．方法归纳图象法求最值的一般步骤跟踪训练1已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．解析：y＝－|x－1|＋2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x，x≥1，,x＋1，x<1，))图象如图所示．由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2]．利用x的不同取值先去绝对值，再画图．类型二利用单调性求函数的最大(小值)例2已知f(x)＝eq\f(1,x－1)，(1)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．(2)求f(x)在[2,6]上的最大值和最小值．【解析】(1)函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数．证明：任取x2>x1>1，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(1,x1－1)－eq\f(1,x2－1)＝eq\f(x2－x1,x1－1x2－1)，因为x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．(2)由(1)可知f(x)在(1，＋∞)上是减函数，所以f(x)在[2,6]上是减函数，所以f(x)max＝f(2)＝1，f(x)min＝f(6)＝eq\f(1,5)，即f(x)min＝eq\f(1,5)，f(x)max＝1.(1)用定义法证明函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性．(2)利用函数单调性求最大值和最小值．方法归纳1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．跟踪训练2已知函数f(x)＝eq\f(3,2x－1)，求函数f(x)在[1,5]上的最值．解析：先证明函数f(x)＝eq\f(3,2x－1)的单调性，设x1，x2是区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上的任意两个实数，且x2>x1>eq\f(1,2)，f(x1)－f(x2)＝eq\f(3,2x1－1)－eq\f(3,2x