一道波兰赛题的证明和应用.pdf
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江苏省启东市汇龙中学王晓东上世纪6O年代波兰曾有如下一道数学竞赛题,下面讨论不等式①中等号成立的充要条件.对这道竞赛题进行研究,我们可以发现一些有趣的必要性:当不等式①中等号成立时,有厂(z)一0,应用.即关于X的一元二次方程,(z)一O有实数解,从而其原题设A+B+C一7【,X、Y、为任意实数,则有判别式△≥0,而事实上△≤0,故必有A一0,于是得不等式Y:sin2C=z:sin2A;再将①式左边看做以Y为自X。+y。+。+2xycos2A+2yzcos2B变量的一元二次函数,仿照上述讨论可知,当不等式+2zxcos2C>~0,①①中等号成立时,有X:sin2B=:sin2A,因此②式其中等号成立的充要条件为:sin2B—Y:sin2C成立.—。sin2A.②充分性:设②式成立.令x=ksin2B,—ksin2C,证明:将①式左边看做以z为自变量的一元二次—ksin2A,则有函数,(z),整理得1(z)一X。+2(ycos2A+Z'COS2C)x+(。+。,(z)一Ex+(ycos2A+zcos2c)3。一÷△+2yzcos2B),则其判别式为一[ksin2B+ksin2Ccos2A+ksin2ACOSzc3。△一[2(ycos2A+zcos20]。-4(y。+。一O+2yzcos2B)—k。[sin2B+sin(2A+2C)]。一O,一4[(。COS。2A+2yzcos2Acos2C+。COS。20即不等式①中等号成立.证毕.一(。+。+2yzcos2B)]从不等式①的证明过程可以看出,在A+B+C一4[一。sin。2A+2yzcos2Acos2C—。sin。2C一丌的情况下不等式①同样成立.一2yzcos(2n-2A一2C)]另外不难看出,不等式①可以变形为一4(-y。sin。2A+2yzsin2Asin2C一sin。2C)(z++)。≥4(xysin。A+sin。B+zxsin。C).一-4(ysin2A—zsin2C)。≤O,③因此对任意实数z、Y、,总有,(z)≥O,即不等式设a+卢+y一7【,并令A一_~-厂6f,B一,①成立.(上接)度为cc,,与简谐运动Y的相位差为的一个简谐运动所以可令c。s一rl,sin~-丽r2,(图1、图2).由此可以看出,和角公式是对一个简谐运动的分解,而辅助角公式r1sincc,z+r2COScc,则④式变成一~/一+sin(cc,z+)f其中角满足tan一1,其y-~/一+(cossincc,z+sinoscc,z)\,1,实是体现了简谐运动的合成结果.对于不同频率(或一~/一+sin(rex+~),角速度)与有任意相位差的简谐运动的叠加,则难以其中角满足tan一r2.用公式体现,但可以用几何画板进行演示.从以上正弦与余弦的和角公式的导出以及在推所以,周期(或角速度)相同,而相位差为詈的两导辅助角公式时的应用可以看出,正弦、余弦的和角个简谐运动的合成结果,是振幅为R一~/一+rl,角速公式其实是两个简谐运动合成与分解的体现.此不等式为不等式a‘+b‘+≥16S。的加强;c一,则A+B+c一7c,于是由不等式①,得(4)不难验证,以上几个不等式中等号成立的充X。+。+z。≥2xycosa+2yzcosfl+Zzxcosy,④要条件均为a=6一c.其中等号成立的充要条件为X:sin一Y:siny应用2设AABC的三条边为a、b、c,相应的三=z0sina.个内角分别为A、B、C,面积为S;设△ABC1的三条在不等式③中,令X—Y—z一1,可得不等式边为a、b、c,相应的三个内角分别为A、B、C,面sin。A+sin。B+sin。C--~T。,A+B+C一7c,其中当且仅积为S.则成立不等式a。(+ci-ai)+b。(口i+c}一b})当A—B=c一时等号成立.+c。(口i+bi—c})≥16SS,⑥在不等式④中,令z——z一1,可得不等式COSa其中等号成立的充要条件为两个三角形相似.证明:在不等式③中,令+cos~-JJ-COS昔,a+卢+7—7c,其中当且仅当a一卢z一2b。a11cosB1=4b。cotB1S1,=2c。a1b1COSC1—4c。cotC1S1,一y一时等号成立.z一2a。b1c1COSA1—4a。cotA1S1,利用不等式①或③可以方便地证明很多重要的代入③式,由余弦定理以及等式cotBcotC不等式,下面给出几个应用.+cotA1cotC1+cotA1cotB1—1,得应用1设a、b、c为AABC的三条边,、U为[6。(口}+c}一b})+c。(口}+bi-C})任意实数,S表示AABC的面积,则有不等式+