自动控制原理第四章根轨迹法引言2.根轨迹法4.1根轨迹的基本概念2.将两个开环极点p1=0和p2=－2绘于复平面上，并用“×”表示。4.闭环系统极点与标准化参数之间的关系可由图4－2表示当k=0时，p1、p2与s1、s2重合，即开环极点和闭环极点重合；当0<k<1时，s1、s2均为区间(-2，0)内的负实数；当k=1时，s1＝s2=-1，即两闭环极点重合；当1<k<∞时，，即两闭环极点互为共轭；当k→∞时，将沿着直线σ=－1趋于无穷远处。讨论:通过分析系统的根轨迹图可清楚地看出闭环系统极点随系统某个参数变化之间的关系；从图4－2可以看出：无论K取何值，由图4－1表示的控制系统的闭环极点均位于复平面的左半平面，因此系统是闭环稳定的；而k=1（K=0.5）是此二阶系统由过阻尼状态过渡到欠阻尼状态的分界点。根轨迹是连续且对称于实轴的，这也是根轨迹的一个特性；绘制根轨迹时选择的可变参数可以是系统的任何参量，但最常用的是系统的开环增益（常规根轨迹）。4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则幅值条件：相角条件：系统开环传递函数通常可以写成两种因子式：由上两式不难看出规则一系统根轨迹的各条分支是连续的，而且关于实轴对称。系统的特征方程为代数方程，因为代数方程中的系数连续变化时，代数方程的根也连续变化，所以特征方程的根轨迹是连续的；由于闭环极点或为实数或为共轭复数，所以根轨迹是对称于实轴的。规则二根轨迹的起点、终点和根轨迹的分支数系统的根轨迹起点为开环极点，终点为开环零点（或无穷远处）。由于系统的特征方程有n个根，所以当可变参数K1由零变化到无穷时，这n个特征根必然会随K1的变化出现n条根轨迹，有m条分支趋向开环零点，另外n－m条分支趋向无穷远处。根轨迹在复平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数，也就是说，根轨迹的分支数等于闭环极点的个数，也等于开环极点的数目（为什么？）。证明根据幅值条件规则三实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹由位于实轴上的开环极点和零点确定。根据相角条件可以证明，实轴上根轨迹区段右侧的开环零极点数目之和为奇数。渐近线与实轴正方向的夹角：证明系统的开环传递函数可以写为在n>m的条件下，当K1→∞时，有（n－m）条根轨迹分支趋向于无穷远，即s→∞。这时可以只考虑高次项，将上式近似写为：不难看出，此系统的根轨迹具有（n－m）条分支，它们是通过（σa，j0）的直线，其相角为：例4-2已知一四阶系统的特征方程为试大致绘制其根轨迹。图4-4例4-2根轨迹图规则五根轨迹的分离点两条或两条以上的根轨迹分支在复平面上相遇又分开的点称为分离点。一般常见的分离点多位于实轴上，但有时也产生于共轭复数对中。在分离点必然是重根点，根据代数中重根条件有：例4－3对于例4－2给出的四阶系统，试确定其分离点坐标。规则六根轨迹的入射角和出射角所谓根轨迹的出射角（或入射角）指的是根轨迹离开开环复数极点处（或进入开环复数零点处）的切线方向与实轴正方向的夹角，图4－5中的为出射角，为入射角。由于根轨迹的对称性，对应于同一对极点（或零点）的出射角（或入射角）互为相反数。即有解上式，就可以求得根轨迹与虚轴的交点ω坐标，以及此交点相对应的临界参数Kc。例4-4求例4-2所给出的系统根轨迹与虚轴的交点坐标。规则八根轨迹的重心（适用于n－m≥2情况）设闭环系统的极点为λi（i=1~n），于是闭环系统特征方程为：jj以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹。绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相。解写出系统的闭环特征方程：二、零度根轨迹（正反馈系统）4.4基于根轨迹法的系统性能分析1.增加开环零点对根轨迹的影响增加一个开环零点使系统的根轨迹向左移动或弯曲；相当于增大了系统阻尼，使系统的瞬态过程时间减小，超调量减小；提高了系统的相对稳定性；开环负实零点离虚轴越近，这些作用越显著；若增加的开环零点和某个极点重合或距离很近时，构成偶极子，则二者作用相互抵消；因此，可以通过加入开环零点的方法，抵消有损于系统性能的极点。2.增加开环极点对根轨迹的影响由上例可见：二、控制系统的稳定性分析例：设某负反馈系统的开环传递函数为三、控制系统的暂态性能分析闭环极点在s平面上的分布如下图所示。闭环极点与负实轴构成的张角β满足闭环二阶系统的主要瞬态性能指标是超调量和调整时间。这些性能指标和闭环极点位置的关系如下：例：单位反馈控制系统的开环传递函数为根据根轨迹绘制重心规则：“系统开环极点之和等于系统闭环极点之和”，令系统的另一个闭环极点为s3，则四、控制系统的稳态性能分析增加实数极零点（偶极子）图4.5Matlab绘制根轨迹例4-5设一单位负反馈系统的开环传递函数如下试绘制该系统的根轨迹。图4-6例4-5的MATLAB仿真结果试画出系统的根轨迹图。可见