第二章DIERZHANG变化率与导数§4导数的四则运算法则课后篇巩固提升A组1.已知f'(x)是函数f(x)的导数,f(x)=x2+2xf'(1),则f'(0)等于()A.2B.-2C.-4D.0解析∵f'(x)=2x+2f'(1),∴f'(1)=2+2f'(1).∴f'(1)=-2.∴f'(x)=2x+2×(-2)=2x-4.∴f'(0)=-4.答案C2.下列函数中,导函数是偶函数的是()A.y=sinxB.y=exC.y=lnxD.y=cosx-12解析由y=sinx得y'=cosx为偶函数;∵当y=ex时,y'=ex为非奇非偶函数,∴B错;∵y=lnx的定义域为x>0,∴C错;D中y=cosx-12时,y'=-sinx为奇函数,故D错.答案A3.已知函数f(x)=x+sinx+1,其导函数记为f'(x),则f(2021)+f'(2021)+f(-2021)-f'(-2021)=()A.2021B.2C.1D.0解析因为f'(x)=1+cosx,所以f'(x)为偶函数,所以f'(2021)-f'(-2021)=f'(2021)-f'(2021)=0,所以原式等价于f(2021)+f(-2021)=2021+sin2021+1+(-2021-sin2021+1)=2.故选B.答案B4.曲线y=2x3-6x上切线平行于x轴的点的坐标为()A.(-1,4)B.(1,-4)C.(-1,-4)或(1,4)D.(-1,4)或(1,-4)解析y'=6x2-6,由y'=0,得x=±1,分别代入y=2x3-6x,得y=-4或y=4,即所求点为(1,-4)或(-1,4).答案D5.曲线y=3x+sinx在(0,0)点处的切线方程为.解析对函数y=3x+sinx求导得y'=3+cosx,则y'|x=0=4,因此,曲线y=3x+sinx在(0,0)点处的切线方程为y=4x,即4x-y=0.答案4x-y=06.若f(x)=x2-2x-4lnx,则f'(x)>0的解集为.解析由f(x)=x2-2x-4lnx,得函数的定义域为(0,+∞),且f'(x)=2x-2-4x=2x2-2x-4x=2(x+1)(x-2)x,由f'(x)>0,解得x>2.故f'(x)>0的解集为(2,+∞).答案(2,+∞)7.已知f'(x)是函数f(x)的导数,f(x)=f'(1)·3x+x2,则f'(2)=.解析因为f(x)=f'(1)·3x+x2,所以f'(x)=f'(1)·3xln3+2x,得f'(1)=f'(1)·3ln3+2,则f'(1)=21-3ln3,所以f'(2)=21-3ln3×9ln3+4=6ln3+41-3ln3.答案6ln3+41-3ln38.若曲线C:y=x3-2ax2+2ax上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角,则实数a的取值范围是.解析∵曲线在任意一点处的切线的倾斜角都是锐角,∴y'=3x2-4ax+2a>0恒成立.∴Δ=16a2-24a<0.∴0<a<32.答案0<a<329.求下列函数的导数:(1)y=x·cosx+x;(2)y=sin4x4+cos4x4;(3)y=lgxxn.解(1)y'=(x·cosx)'+(x)'=cosx-x·sinx+12x-12.(2)∵y=sin4x4+cos4x4=sin2x4+cos2x42-2sin2x4·cos2x4=1-12sin2x2=1-12·1-cosx2=34+14cosx,∴y'=34+14cosx'=-14sinx.(3)y'=(lgx)'xn-lgx·(xn)'(xn)2=xnxln10-lgx·n·xn-1x2n=xn-11ln10-n·lgxx2n=1-n·lgx·ln10xn+1·ln10.10.曲线C:y=ax3+bx2+cx+d在点(0,1)处的切线为l1:y=x+1,在点(3,4)处的切线为l2:y=-2x+10,求曲线C的方程.解由已知得点(0,1)与点(3,4)均在曲线C上,∴d=1,27a+9b+3c+d=4.∵y'=3ax2+2bx+c,由导数的几何意义得c=1,27a+6b+c=-2.解得d=1,c=1,a=-13,b=1.所以曲线C的方程为y=-13x3+x2+x+1.B组1.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值为()A.2B.-1C.1D.-2解析由条件可知,点A(1,3)在直线y=kx+1上,则k=2.∵点A在曲线y=x3+ax+b上,∴a+b+1=3,即a+b=2.由y=x3+ax+b,得y'=3x2+a,∴3+a=k=2.∴a=-1,b=3.∴2a+b=1