第三章DISANZHANG导数应用习题课——导数的综合应用课后篇巩固提升A组1.已知函数f(x)=ex-3,g(x)=1+lnx,若f(m)=g(n),则n-m的最小值为()A.-ln2B.ln2C.2D.-2解析令t=f(m)=g(n),则em-3=t,1+lnn=t,∴m=3+lnt,n=et-1,即n-m=et-1-3-lnt.若h(t)=et-1-3-lnt,则h'(t)=et-1-1t(t>0),令h'(t)=0,有t=1,当0<t<1时,h'(t)<0,h(t)是减少的,当t>1时,h'(t)>0,h(t)是增加的,∴h(t)min=h(1)=e0-3-ln1=-2,即n-m的最小值为-2.故选D.答案D2.已知函数f(x)=1ex-x+m的定义域为R,则实数m的取值范围是()A.(-1,+∞)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-∞,1)解析已知函数f(x)=1ex-x+m的定义域为R,等价于ex-x+m=0无解.设g(x)=ex-x+m,则g'(x)=ex-1,当x<0时,g'(x)<0,g(x)是减少的,当x>0时,g'(x)>0,g(x)是增加的,∴g(x)min=g(0)=1+m.∵ex-x+m=0无解,∴1+m>0,∴m的取值范围是(-1,+∞).故选A.答案A3.对一切实数x,不等式x4+ax2+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是()A.[-2,2]B.[0,2]C.[-2,+∞)D.[-4,+∞)解析当x=0时,1≥0成立,当x≠0时,x2>0,∴不等式x4+ax2+1≥0恒成立,转化为a≥-1-x4x2max.令t=x2(t>0),f(t)=-1-t2t=-t-1t,∴f'(t)=-1+1t2.当f'(t)>0时,0<t<1,当f'(t)<0时,t>1,∴当t=1时,f(t)max=-2,即-1-x4x2max=-2.∴a≥-2.答案C4.已知实数a,b,c,d成等比数列,且曲线y=3x-x3的极大值点坐标为(b,c),则ad等于()A.2B.1C.-1D.-2解析∵a,b,c,d成等比数列,∴ad=bc.又∵(b,c)是函数y=3x-x3的极大值点,∴c=3b-b3,且0=3-3b2.∴b=1,c=2,或b=-1,c=-2(舍去).∴ad=2.答案A5.函数f(x)=13x3-x2+a,函数g(x)=x2-3x,它们的定义域均为[1,+∞),并且函数f(x)的图像始终在函数g(x)图像的上方,则a的取值范围是()A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.-43,+∞D.-∞,-43解析设h(x)=13x3-x2+a-x2+3x,则h'(x)=x2-4x+3=(x-3)·(x-1),所以当x∈(1,3)时,h(x)是减少的;当x∈(3,+∞)时,h(x)是增加的.当x=3时,函数h(x)取得最小值.因为f(x)的图像始终在g(x)的图像上方,则有h(x)min>0,即h(3)=a>0,所以a的取值范围是(0,+∞).答案A6.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点,则常数a=.解析f'(x)=ax+2bx+1,由题意得a+2b+1=0,a2+4b+1=0,解得a=-23.答案-237.已知x∈(0,+∞),不等式ax+eax≥lnx+x恒成立,则实数a的最小值为.解析设f(x)=x+ex,显然f(x)是增函数,不等式ax+eax≥lnx+x变形为ax+eax≥lnx+elnx,即f(ax)≥f(lnx),所以ax≥lnx,所以a≥lnxx.令g(x)=lnxx,则g'(x)=1-lnxx2,当0<x<e时,g'(x)>0,g(x)是增加的,当x>e时,g'(x)<0,g(x)是减少的,所以g(x)max=g(e)=1e.不等式a≥lnxx恒成立,则a≥1e,即a的最小值是1e.答案1e8.设函数f(x)=alnx-bx2,a,b∈R.若函数f(x)在x=1处与直线y=-12相切.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)在1e,e上的最大值.解(1)f'(x)=ax-2bx,∵函数f(x)在x=1处与直线y=-12相切,∴f'(1)=a-2b=0,f(1)=-b=-12,解得a=1,b=12.(2)∵f(x)=lnx-12x2,∴f'(x)=1x-x=1-x2x.当1e≤x≤e时,令f'(x)>0,得1e≤x<1;令f'(x)<0,得1<x≤e,∴f(x)在1e,1上是增加的,在[1,e]上是减少的.∴f(x)max=f(1)=-12.9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图像过点P(1,2),且在点P处的切线