习题课——导数运算及几何意义的综合问题课后篇巩固提升基础巩固1.若f(x)=x2-2x-4lnx,则f'(x)>0的解集为()A.(0,+∞)B.(-1,0)∪(2,+∞)C.(2,+∞)D.(-1,0)解析由题知,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-2-4x,令2x-2-4x>0,整理得x2-x-2>0,解得x>2或x<-1.结合函数的定义域知,f'(x)>0的解集为(2,+∞).故选C.答案C2.若曲线f(x)=13x3+x2+mx的切线中,只有一条与直线x+y-3=0垂直,则实数m的值等于()A.2B.0C.0或2D.3解析依题意,只有一条切线的斜率等于1,又f'(x)=x2+2x+m,所以方程x2+2x+m=1只有一个实数根,于是Δ=4-4(m-1)=0,解得m=2.答案A3.已知f(x)=f'(1)x+4x,则f'(1)=()A.1B.4C.2D.-1解析因为f(x)=f'(1)x+4x,所以f'(x)=-f'(1)x2+4.因此f'(1)=-f'(1)12+4,解得f'(1)=2.答案C4.经过点(3,0)的直线l与抛物线y=x22的两个交点处的切线相互垂直,则直线l的斜率k等于()A.-16B.-13C.12D.-12解析设直线l的斜率为k,则其方程为y=k(x-3),设直线l与抛物线的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x22,y=k(x-3),得x2-2kx+6k=0,所以x1x2=6k.又对y=x22求导有y'=x,所以抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为x1,x2,于是有x1x2=6k=-1,所以k=-16.答案A5.下列说法正确的是()A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点B.曲线的切线和曲线可能有无数个交点C.已知y=ln2,则y'=12D.函数f(x)=x3在原点处的切线为y轴解析对于A,例如y=cosx在(0,1)处的切线和y=cosx有无数个交点,故A错误,从而可知B正确;对于C,y=ln2,y'=0,故C错误;对于D,由f(x)=x3,得f'(x)=3x2,所以f'(0)=0,所以函数f(x)=x3在原点处的切线方程是y=0,即为x轴,故D错误.故选B.答案B6.给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f'(x))',若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数,以下四个函数在0,π2上不是凸函数的是()A.f(x)=sinx+cosxB.f(x)=lnx-2xC.f(x)=-x3+2x-1D.f(x)=-xe-x解析若f(x)=sinx+cosx,则f″(x)=-sinx-cosx,在0,π2上,恒有f″(x)<0;若f(x)=lnx-2x,则f″(x)=-1x2,在0,π2上,恒有f″(x)<0;若f(x)=-x3+2x-1,则f″(x)=-6x,在0,π2上,恒有f″(x)<0;若f(x)=-xe-x=-xex,则f'(x)=x-1ex,f″(x)=2-xex,在0,π2上,恒有f″(x)>0,故选D.答案D7.已知函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为2x+y-3=0,则f(2)+f'(2)=.解析切线2x+y-3=0的斜率为-2,所以f'(2)=-2.又切点在切线上,所以2×2+y-3=0.因此y=f(2)=-1,故f(2)+f'(2)=-1+(-2)=-3.答案-38.已知a=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx,b=limΔx→0f(x0-Δx)-f(x0)Δx,c=limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)Δx,d=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0-Δx)Δx,e=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0,则a,b,c,d,e中有相等关系的是.解析容易推得c=d,又在e=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0中,若令x-x0=Δx,则该式可化为e=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx,所以a=e,因此具有相等关系的是c=d,a=e.答案c=d,a=e9.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.解析由题意可知y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,∴k=y'|x=0=3.∴曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x.答案y=3x10.已知曲线y=x2+1,问是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明