第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知函数y=x2+1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则等于()A.2B.2xC.2+ΔxD.2+(Δx)2解析=Δx+2.答案C2.曲线y=ax3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A.45°B.60°C.120°D.135°解析∵点(1,3)在曲线上,∴3=a-2+4,可得a=1,则y=x3-2x+4,y'=3x2-2,当x=1时,y'=1.故所求切线的倾斜角为45°.答案A3.已知函数f(x)=,则方程f'(x)=0的解为()A.x=1B.x=eC.x=D.x=0解析f'(x)=.∵f'(x)=0,∴1-lnx=0,解得x=e.答案B4.函数y=的导数是()A.B.C.-D.-解析y'='=·(3x-1)'=-,故选C.答案C5.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3解析∵f(x)=ax-ln(x+1),∴f'(x)=a-.∴f(0)=0且f'(0)=a-1=2,解得a=3.答案D6.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2x·f'(1)+lnx,则f'(1)等于()A.-eB.-1C.1D.e解析∵f(x)=2xf'(1)+lnx,∴f'(x)=2f'(1)+.∴f'(1)=2f'(1)+1.∴f'(1)=-1.答案B7.已知函数f(x)=lnx+(m∈R)的图像在点(1,f(1))处的切线l的斜率为2,则直线l在y轴上的截距为()A.3B.-3C.1D.-1解析由f'(x)=,则f'(1)==2,得m=-1.所以f(1)=ln1+=-1,故切线方程为y+1=2(x-1),由x=0得y=-3.故选B.答案B8.已知函数f(x)=asin3x+bx3+4(a∈R,b∈R),f'(x)为f(x)的导函数,则f(2020)+f(-2020)+f'(2021)-f'(-2021)=()A.0B.8C.2020D.2021解析根据题意有f'(x)=3acos3x+3bx2,所以f'(x)=f'(-x),而f(x)+f(-x)=4+4=8,所以有f(2020)+f(-2020)+f'(2021)-f'(-2021)=8.答案B9.若曲线y=e-x上点P处的切线垂直于直线x-2y+1=0,则点P的坐标是()A.(-2,ln2)B.(2,-ln2)C.(-ln2,2)D.(ln2,-2)解析设点P的坐标是(x0,y0),由题意得y'=-e-x,∵曲线y=e-x上点P处的切线垂直于直线x-2y+1=0,∴-=-2,解得x0=-ln2.∴y0==2.故点P的坐标是(-ln2,2).答案C10.已知点P在曲线y=2sincos上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()A.B.C.D.解析∵y=2sincos=sinx,∴y'=cosx.设P(x0,y0),由题意知,切线的斜率存在,则曲线在点P处的切线的斜率k=tanα=cosx0,∴-1≤tanα≤1.∵0≤α<π,∴α∈.故选D.答案D11.已知曲线f(x)=sin2x+2ax(x∈R),若对任意实数m,直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(-1,0)B.(-∞,-1)∪(0,+∞)C.(-1,0)∪(0,+∞)D.a∈R且a≠0,a≠-1解析f'(x)=2sinxcosx+2a=sin2x+2a,直线l的斜率为-1,由题意知关于x的方程sin2x+2a=-1无解,所以|2a+1|>1,解得a<-1或a>0.故选B.答案B12.已知曲线y1=2-与y2=x3-x2+2x在x=x0处切线的斜率的乘积为3,则x0的值为()A.-2B.2C.D.1解析由题意知y'1=,y'2=3x2-2x+2,所以两曲线在x=x0处切线的斜率分别为,3-2x0+2,所以=3.所以x0=1.答案D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.对于函数f(x)=x3-mx+3,若f'(1)=0,则m=.解析∵f'(x)=3x2-m,∴f'(1)=3-m=0.∴m=3.答案314.已知函数f(x)在x=x0处可导,若=1,则f'(x0)=.解析∵=1,∴,即f'(x0)=.答案15.已知函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),则f'(0)=.