排列组合基本问题学案1．排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列2．排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示3．排列数公式：（）4阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定．5．排列数的另一个计算公式：=6组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合7．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．8．组合数公式：或9组合数的性质1：．规定：；10．组合数的性质2：＝+题型讲解例1分别求出符合下列要求的不同排法的种数（1）6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；（2）6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；（3）从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；（4）6人排成一排，甲、乙必须相邻；（5）6人排成一排，甲、乙不相邻；（6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）解：（1）分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为（2）甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有种选法，然后其他5人选，有种选法，故排法种数为（3）有两棒受限制，以第一棒的人选来分类：①乙跑第一棒，其余棒次则不受限制，排法数为；②乙不跑第一棒，则跑第一棒的人有种选法，第四棒除了乙和第一棒选定的人外，也有种选法，其余两棒次不受限制，故有种排法，由分类计数原理，共有种排法（4）将甲乙“捆绑”成“一个元”与其他4人一起作全排列共有种排法（5）甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的4人的左、右及之间的空挡插位，共有（或用6人的排列数减去问题（2）后排列数为）（6）三人的顺序定，实质是从6个位置中选出三个位置，然后排按规定的顺序放置这三人，其余3人在3个位置上全排列，故有排法种点评：排队问题是一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻例2假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少种？（1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品解：（1）没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有种（2）恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有种（3）至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有二类：第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有种第二类从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有种按分类计数原理有种点评：此题是只选“元”而不排“序”的典型的组合问题，附加的条件是从不同种类的元素中抽取，应当注意：如果第（3）题采用先从3件次品抽取2件（以保证至少有2件是次品），再从余下的98件产品中任意抽取3件的抽法，那么所得结果是种，其结论是错误的，错在“重复”：假设3件次品是A、B、C，第一步先抽A、B第二步再抽C和其余2件正品，与第一步先抽A、C（或B、C），第二步再抽B（或A）和其余2件正品是同一种抽法，但在算式中算作3种不同抽法例3求证：①；②证明：①利用排列数公式左右另一种证法：（利用排列的定义理解）从n个元素中取m个元素排列可以分成两类：①第一类不含某特殊元素的排列有第二类含元素的排列则先从个元素中取出个元素排列有种，然后将插入，共有m个空档，故有种，因此②利用组合数公式左右另法：利用公式推得左右点评：证明排列、组合恒等式通常利用排列数、组合数公式及组合数基本性质例4已知是集合到集合的映射（1）不同的映射有多少个？（2）若要求则不同的映射有多少个？分析：（1）确定一个映射，需要确定的像（2）的象元之和为4，则加数可能出现多种情况，即4有多种分析方案，各方案独立且并列需要分类计算解：（1）A中每个元都可选0,1,2三者之一为像，由分步计数原理，共有个不同映射（2）根据对应的像为2的个数来分类，可分为三类：第一类：没有元素的像为2，其和又为4，必然其像均为1，这样的映射只有一个；第二类：一个元素的像是2，其余三个元素的像必为0,1,1，这样的映射有个；第三类：二个元素的像是2，另两个元素的像必为0，这样的映射有个由分类计数原理共有1+12+6=19（个）点评：问题（1）可套用投信模型：n封不同的信投入m个不同的信箱，有种方法；问题（2）的关键结合映射概念恰当确定分类标准，做到不重、不漏例5四面体的顶点和各棱的中点共10个点（1）设一个顶点为A，从其